Cele mai importante aspecte ale lecției
Un poligon regulat are toate laturile și unghiurile congruente și poate fi mereu înscris într-un cerc. Centrul acestui cerc se găsește la intersecția mediatoarelor laturilor (sau a bisectoarelor unghiurilor).
Formule rapide pentru un poligon cu \( n \) laturi:
Formule rapide pentru un poligon cu \( n \) laturi:
- Măsura unghiului la centru / arcului corespunzător unei laturi: \( \frac{360^\circ}{n} \)
- Suma unghiurilor poligonului: \( (n - 2) \cdot 180^\circ \)
- Măsura unui unghi interior: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
Un poligon se numește poligon înscris în cerc dacă toate vârfurile sale se află pe un cerc.
Cercul respectiv se numește cerc circumscris poligonului, iar centrul acestui cerc se numește centrul poligonului.
Un poligon se numește poligon regulat dacă are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente.
Orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc. Vârfurile unui poligon regulat cu \( n \) laturi determină pe cerc \( n \) arce congruente.
Un poligon are toate laturile congruente, dar unghiurile sale nu sunt congruente. Este acesta un poligon regulat?
Nu. Pentru a fi regulat, un poligon trebuie să îndeplinească ambele condiții simultan: atât laturile, cât și unghiurile trebuie să fie congruente (exemplu: un romb care nu este pătrat are laturile congruente, dar nu și unghiurile, deci nu este poligon regulat).
Pentru un poligon regulat cu \( n \) laturi, înscris într-un cerc de centru \( O \), se aplică următoarele formule:
Măsura unui arc mic de cerc (și a unghiului la centru corespunzător):
\[ \frac{360^\circ}{n} \]
Suma măsurilor unghiurilor interioare ale poligonului:
\[ (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Măsura unui singur unghi interior al poligonului regulat:
\[ \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \]
Centrul cercului circumscris unui poligon regulat se află la intersecția mediatoarelor laturilor sale. De asemenea, coincide cu intersecția bisectoarelor unghiurilor sale.
Poligoanele regulate denumite cel mai des în geometrie au caracteristici specifice legate de centrul cercului circumscris.
Are 3 laturi și 3 unghiuri congruente. Centrul cercului circumscris se află la intersecția mediatoarelor (sau bisectoarelor).
Are 4 laturi și 4 unghiuri congruente (de \( 90^\circ \)). Centrul cercului circumscris se află exact la intersecția diagonalelor sale.
Laturile hexagonului regulat subîntind arce de \( 60^\circ \) (\( 360^\circ : 6 \)). Triunghiul format de centrul cercului și două vârfuri consecutive este triunghi echilateral.
Exerciții practice
Ușoară: Determină măsura unui unghi la centru și măsura unui unghi interior pentru un octogon regulat (poligon cu 8 laturi).
Avem \( n = 8 \).
1. Măsura unghiului la centru (și a arcului mic): \[ \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \] 2. Măsura unui unghi interior: \[ \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \]
1. Măsura unghiului la centru (și a arcului mic): \[ \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \] 2. Măsura unui unghi interior: \[ \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \]
Medie: Află numărul de laturi ale unui poligon regulat, știind că suma măsurilor unghiurilor sale interioare este egală cu \( 1440^\circ \).
Folosim formula sumei unghiurilor unui poligon regulat:
\[ (n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ \]
Împărțim ambele părți la \( 180^\circ \):
\[ n - 2 = 1440^\circ : 180^\circ \]
\[ n - 2 = 8 \]
\[ n = 8 + 2 \implies n = 10 \]
Răspuns: Poligonul are 10 laturi (decagon regulat).
Dificilă: Demonstrează că dacă \( ABCDEF \) este un hexagon regulat înscris într-un cerc de centru \( O \), atunci triunghiul \( OAB \) format de centru și două vârfuri consecutive este echilateral.
1. Deoarece hexagonul are \( n = 6 \) laturi, arcul de cerc subîntins de o latură, cum ar fi \( \overparen{AB} \), are măsura:
\[ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]
2. Unghiul la centru \( \measuredangle AOB \) are aceeași măsură cu arcul cuprins între laturile sale, deci \( \measuredangle AOB = 60^\circ \).
3. Segmentele \( OA \) și \( OB \) sunt raze ale cercului circumscris, deci \( OA = OB \).
4. Triunghiul \( OAB \) este isoscel (având două laturi egale) cu un unghi de \( 60^\circ \). Orice triunghi isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Concluzie: Triunghiul \( OAB \) este echilateral.
3. Segmentele \( OA \) și \( OB \) sunt raze ale cercului circumscris, deci \( OA = OB \).
4. Triunghiul \( OAB \) este isoscel (având două laturi egale) cu un unghi de \( 60^\circ \). Orice triunghi isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Concluzie: Triunghiul \( OAB \) este echilateral.
