Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte esențiale:
- Un patrulater convex nu are nicio latură a cărei prelungire să taie figura (toate vârfurile sunt "împinse" în exterior).
- Suma unghiurilor interne este mereu fixă: \( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \).
- Pentru a rezolva probleme cu unghiuri lipsă, adunăm măsurile unghiurilor cunoscute și scădem rezultatul din \( 360^\circ \).
- Paralelogramul este un caz particular de patrulater convex, definit strict prin faptul că are laturile opuse paralele.
O figură geometrică formată din patru puncte \( A, B, C, D \) se numește patrulater dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- Oricare trei dintre cele patru puncte nu sunt coliniare.
- Segmentele nu se intersectează (cu excepția vârfurilor).
- Figura este reuniunea segmentelor \( AB, BC, CD \) și \( DA \).
Ordinea vârfurilor în numirea patrulaterului este obligatorie (circulară). Se alege un vârf și se parcurg celelalte în sensul acelor de ceasornic sau invers (ex: \( ABCD \), \( BCDA \), \( ADCB \)).
Elementele unui patrulater:
- Vârfurile: punctele \( A, B, C, D \);
- Laturile: segmentele \( AB, BC, CD, DA \);
- Unghiurile: \( \measuredangle ABC, \measuredangle BCD, \measuredangle CDA, \measuredangle DAB \);
- Diagonalele: segmentele care unesc vârfuri opuse (\( AC \) și \( BD \)).
Relații între elemente:
- Laturi consecutive (vecine): au un punct comun (ex. \( AB \) și \( BC \)).
- Laturi opuse: nu au niciun punct comun (ex. \( AB \) și \( CD \)).
- Unghiuri opuse: nu au în comun o latură (ex. \( \measuredangle A \) și \( \measuredangle C \)).
- Unghiuri alăturate: unghiuri care nu sunt opuse.
Patrulaterele se împart în două mari categorii, în funcție de poziția vârfurilor față de dreptele care conțin laturile.
Patrulater convex: Pentru fiecare dreaptă care conține o latură a patrulaterului, toate celelalte vârfuri se află de aceeași parte a dreptei. Diagonalele sale se intersectează în interiorul figurii.
Patrulater concav: Există cel puțin o dreaptă care conține o latură a patrulaterului, astfel încât restul vârfurilor se află de părți diferite ale acestei drepte. Una dintre diagonale se află în exteriorul figurii.
Suma măsurilor unghiurilor oricărui patrulater convex este egală cu \( 360^\circ \).
\[ \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \]
Dacă trasăm o diagonală (de exemplu, \( AC \)), patrulaterul se împarte în două triunghiuri: \( \triangle ABC \) și \( \triangle ACD \). Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \), suma unghiurilor patrulaterului va fi \( 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \).
Dacă într-un patrulater cunoaștem trei unghiuri: \( \measuredangle A = 70^\circ \), \( \measuredangle B = 110^\circ \), \( \measuredangle C = 80^\circ \), putem afla al patrulea unghi astfel:
\[ \measuredangle D = 360^\circ - (70^\circ + 110^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \]
Paralelogramul este un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două.
Patrulaterul \( ABCD \) este paralelogram dacă:
\[ AB \parallel CD \text{ și } AD \parallel BC \]
Probleme practice
Ușoară: Într-un patrulater convex \( ABCD \), se cunosc măsurile a trei dintre unghiurile sale: \( \measuredangle A = 60^\circ \), \( \measuredangle B = 70^\circ \) și \( \measuredangle C = 140^\circ \). Calculați măsura unghiului \( D \).
Știm că suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este \( 360^\circ \).
\( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 60^\circ + 70^\circ + 140^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 270^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( \measuredangle D = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)
Răspuns: \( \measuredangle D = 90^\circ \)
\( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 60^\circ + 70^\circ + 140^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 270^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( \measuredangle D = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)
Răspuns: \( \measuredangle D = 90^\circ \)
Medie: Se consideră un patrulater convex \( ABCD \) în care unghiurile opuse sunt egale două câte două: \( \measuredangle A = \measuredangle C \) și \( \measuredangle B = \measuredangle D \). Dacă \( \measuredangle A = 55^\circ \), aflați măsura unghiului \( B \).
Știm că \( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \).
Înlocuim \( \measuredangle C \) cu \( \measuredangle A \) și \( \measuredangle D \) cu \( \measuredangle B \):
\( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle A + \measuredangle B = 360^\circ \)
\( 2 \cdot \measuredangle A + 2 \cdot \measuredangle B = 360^\circ \)
Împărțim la 2:
\( \measuredangle A + \measuredangle B = 180^\circ \)
Cum \( \measuredangle A = 55^\circ \), obținem:
\( 55^\circ + \measuredangle B = 180^\circ \Rightarrow \measuredangle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Răspuns: \( \measuredangle B = 125^\circ \)
Înlocuim \( \measuredangle C \) cu \( \measuredangle A \) și \( \measuredangle D \) cu \( \measuredangle B \):
\( \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle A + \measuredangle B = 360^\circ \)
\( 2 \cdot \measuredangle A + 2 \cdot \measuredangle B = 360^\circ \)
Împărțim la 2:
\( \measuredangle A + \measuredangle B = 180^\circ \)
Cum \( \measuredangle A = 55^\circ \), obținem:
\( 55^\circ + \measuredangle B = 180^\circ \Rightarrow \measuredangle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Răspuns: \( \measuredangle B = 125^\circ \)
Dificilă: Patrulaterul convex \( ABCD \) are unghiurile opuse \( B \) și \( D \) suplementare (suma lor este \( 180^\circ \)). Știind că \( \measuredangle B = x + 75^\circ \) și \( \measuredangle D = x - 15^\circ \), determinați valoarea lui \( x \), apoi calculați măsurile unghiurilor \( B \) și \( D \). Ce putem deduce despre suma unghiurilor \( A \) și \( C \)?
Pasul 1: Aflăm valoarea lui \( x \).
Deoarece \( \measuredangle B \) și \( \measuredangle D \) sunt suplementare: \( \measuredangle B + \measuredangle D = 180^\circ \)
\( (x + 75^\circ) + (x - 15^\circ) = 180^\circ \)
\( 2x + 60^\circ = 180^\circ \)
\( 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \)
Pasul 2: Calculăm unghiurile.
\( \measuredangle B = 60^\circ + 75^\circ = 135^\circ \)
\( \measuredangle D = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ \)
Pasul 3: Suma unghiurilor \( A \) și \( C \).
Suma totală este \( 360^\circ \). Deci \( \measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - (\measuredangle B + \measuredangle D) \)
\( \measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \).
Deducem că și unghiurile \( A \) și \( C \) sunt suplementare.
Deoarece \( \measuredangle B \) și \( \measuredangle D \) sunt suplementare: \( \measuredangle B + \measuredangle D = 180^\circ \)
\( (x + 75^\circ) + (x - 15^\circ) = 180^\circ \)
\( 2x + 60^\circ = 180^\circ \)
\( 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \)
Pasul 2: Calculăm unghiurile.
\( \measuredangle B = 60^\circ + 75^\circ = 135^\circ \)
\( \measuredangle D = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ \)
Pasul 3: Suma unghiurilor \( A \) și \( C \).
Suma totală este \( 360^\circ \). Deci \( \measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - (\measuredangle B + \measuredangle D) \)
\( \measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \).
Deducem că și unghiurile \( A \) și \( C \) sunt suplementare.
