Cele mai importante aspecte ale lecției
Numere raționale (\(\mathbb{Q}\)): Pot fi scrise ca fracții, incluzând zecimalele finite și periodice (ex: \(\frac{1}{2}; 3,5; 0,(7)\)).
Numere iraționale (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)): Zecimale infinite neperiodice, deseori radicali din numere care nu sunt pătrate perfecte (ex: \(\sqrt{2}, \sqrt{7}\)). Opusul, suma sau produsul cu un număr rațional nenul generează tot numere iraționale.
Numere reale (\(\mathbb{R}\)): Reuniunea tuturor numerelor raționale și iraționale.
Incluziune: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Modulul: Reprezintă distanța pe axă față de 0 și este mereu \(\ge 0\). \(|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}\).
Numere iraționale (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)): Zecimale infinite neperiodice, deseori radicali din numere care nu sunt pătrate perfecte (ex: \(\sqrt{2}, \sqrt{7}\)). Opusul, suma sau produsul cu un număr rațional nenul generează tot numere iraționale.
Numere reale (\(\mathbb{R}\)): Reuniunea tuturor numerelor raționale și iraționale.
Incluziune: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Modulul: Reprezintă distanța pe axă față de 0 și este mereu \(\ge 0\). \(|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}\).
Mulțimea numerelor raționale este formată din toate numerele care pot fi scrise sub formă de fracție ordinară \(\frac{m}{n}\) sau \(-\frac{m}{n}\), unde \(m \in \mathbb{N}\) și \(n \in \mathbb{N}^*\). Aceasta include fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale infinite periodice.
Se notează cu \(\mathbb{Q}\).
Exemple de numere raționale: \(\frac{3}{4}; -\frac{1}{2}; 0,25; 1,(12); 7,8(12); -2,87\). Toate aparțin mulțimii \(\mathbb{Q}\).
Este \(3,14\) un număr rațional?
Răspuns: Da. Numărul \(3,14\) este o fracție zecimală finită și poate fi scris ca o fracție ordinară: \(\frac{314}{100}\), deci aparține mulțimii \(\mathbb{Q}\).
Numărul irațional este numărul real care nu este rațional. Sub formă zecimală, un număr irațional este o fracție zecimală infinită și neperiodică.
Dacă \(p\) este un număr natural prim sau dacă \(n \in \mathbb{N}\) nu este pătrat perfect, atunci \(\sqrt{p}\), respectiv \(\sqrt{n}\), sunt numere iraționale.
Exemple de numere iraționale:
• \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\) (rădăcini ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte).
• \(0,101001000100001...\) (fracție zecimală infinită neperiodică).
• \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\) (rădăcini ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte).
• \(0,101001000100001...\) (fracție zecimală infinită neperiodică).
Care dintre numerele \(\sqrt{16}\) și \(\sqrt{20}\) este irațional?
Răspuns: \(\sqrt{16} = 4\), care este un număr natural, deci rațional. Numărul 20 nu este pătrat perfect, așadar \(\sqrt{20}\) este o fracție zecimală infinită neperiodică. Prin urmare, \(\sqrt{20}\) este numărul irațional.
Mulțimea numerelor reale este formată din reuniunea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale. Un număr este real dacă și numai dacă este rațional sau irațional.
Se notează cu \(\mathbb{R}\). Formula reuniunii este: \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\).
Relația de incluziune a mulțimilor numerice:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Orice număr natural este întreg, orice număr întreg este rațional, orice număr rațional este real.
Este afirmația "\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)" adevărată?
Răspuns: Da. Orice număr întreg aparține și mulțimii numerelor raționale (de exemplu, \(-5\) se poate scrie ca \(\frac{-5}{1}\)).
Suma dintre un număr rațional și un număr irațional este un număr irațional.
Produsul dintre un număr rațional nenul și un număr irațional este un număr irațional.
Opusul unui număr irațional este tot un număr irațional.
• Sumă: \(3 + \sqrt{7}\) este număr irațional.
• Produs: \(\frac{2}{3}\sqrt{15}\) este număr irațional.
• Opus: Opusul lui \(\sqrt{15}\) este \(-\sqrt{15}\) (număr irațional).
• Produs: \(\frac{2}{3}\sqrt{15}\) este număr irațional.
• Opus: Opusul lui \(\sqrt{15}\) este \(-\sqrt{15}\) (număr irațional).
Ce fel de număr este rezultatul calculului \(5 - \sqrt{2}\)?
Răspuns: Este un număr irațional, deoarece reprezintă suma (sau diferența) dintre un număr rațional (\(5\)) și un număr irațional (\(\sqrt{2}\)).
Modulul unui număr real reprezintă distanța de la originea axei numerelor (punctul corespunzător lui 0) până la reprezentarea acelui număr pe axă.
Deoarece reprezintă o distanță, modulul unui număr real este întotdeauna pozitiv sau zero.
Dacă reprezentăm pe axă numerele \(\frac{3}{\sqrt{4}}\) și \(-\frac{3}{\sqrt{4}}\):
• \(\left| \frac{3}{\sqrt{4}} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2} = 1,5\)
• \(\left| -\frac{3}{\sqrt{4}} \right| = \left| -\frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2} = 1,5\)
Ambele se află la distanța de 1,5 față de origine.
• \(\left| \frac{3}{\sqrt{4}} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2} = 1,5\)
• \(\left| -\frac{3}{\sqrt{4}} \right| = \left| -\frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2} = 1,5\)
Ambele se află la distanța de 1,5 față de origine.
Exerciții
Ușoară: Scrieți elementele din următoarea mulțime care aparțin mulțimii numerelor iraționale: \(A = \{ -2; \sqrt{5}; 1,(3); -\sqrt{16} \}\).
Analizăm fiecare număr:
• \(-2 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) (rațional)
• \(1,(3) \in \mathbb{Q}\) (rațional, fracție periodică)
• \(-\sqrt{16} = -4 \in \mathbb{Q}\) (rațional)
• \(\sqrt{5}\) este rădăcina unui număr care nu este pătrat perfect, deci este irațional.
Răspuns: \(\sqrt{5}\)
• \(-2 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) (rațional)
• \(1,(3) \in \mathbb{Q}\) (rațional, fracție periodică)
• \(-\sqrt{16} = -4 \in \mathbb{Q}\) (rațional)
• \(\sqrt{5}\) este rădăcina unui număr care nu este pătrat perfect, deci este irațional.
Răspuns: \(\sqrt{5}\)
Medie: Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „Suma numerelor \(4\) și \(\sqrt{9}\) este un număr irațional”.
Calculăm rădăcina: \(\sqrt{9} = 3\).
Calculăm suma: \(4 + 3 = 7\).
Numărul 7 aparține mulțimii numerelor naturale, deci este număr rațional (\(7 \in \mathbb{Q}\)).
Răspuns: Propoziția este Falsă.
Calculăm suma: \(4 + 3 = 7\).
Numărul 7 aparține mulțimii numerelor naturale, deci este număr rațional (\(7 \in \mathbb{Q}\)).
Răspuns: Propoziția este Falsă.
Dificilă: Aflați cel mai mare număr natural \(x\) pentru care \(\sqrt{24 - x}\) aparține mulțimii \(\mathbb{Q}\).
Pentru ca \(\sqrt{24 - x}\) să aparțină mulțimii \(\mathbb{Q}\), numărul \(24 - x\) trebuie să fie un pătrat perfect (\(k^2\)) și mai mare sau egal cu 0.
Pentru a găsi cel mai mare \(x\) natural, valoarea lui \(24 - x\) trebuie să fie cel mai mic pătrat perfect posibil.
Cel mai mic pătrat perfect este 0.
\(24 - x = 0 \Rightarrow x = 24\).
Deoarece \(24 \in \mathbb{N}\), valoarea este corectă.
Răspuns: \(x = 24\)
Pentru a găsi cel mai mare \(x\) natural, valoarea lui \(24 - x\) trebuie să fie cel mai mic pătrat perfect posibil.
Cel mai mic pătrat perfect este 0.
\(24 - x = 0 \Rightarrow x = 24\).
Deoarece \(24 \in \mathbb{N}\), valoarea este corectă.
Răspuns: \(x = 24\)
