VII.4. Evaluăm Nivelul De Bază

Vom rezolva cele două sisteme de ecuații folosind metodele specifice algebrei de clasa a VII-a, respectiv metoda reducerii și metoda substituției.

a) \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2x - y = 7 \end{cases} \)

Pasul 1: Aplicarea metodei reducerii

Observăm că necunoscuta \( y \) are coeficienți opuși (\( 1 \) și \( -1 \)). Adunăm cele două ecuații membru cu membru pentru a o elimina: \( (2x + y) + (2x - y) = 5 + 7 \) \( 2x + \cancel{y} + 2x - \cancel{y} = 12 \) \( 4x = 12 \)

Pasul 2: Aflarea valorii lui x

Împărțim egalitatea la 4 pentru a găsi valoarea lui \( x \): \( x = \frac{12}{4} = 3 \)

Pasul 3: Aflarea valorii lui y

Înlocuim \( x = 3 \) în prima ecuație a sistemului pentru a afla \( y \): \( 2(3) + y = 5 \) \( 6 + y = 5 \) \( y = 5 - 6 = -1 \) Soluția sistemului este perechea \( (3, -1) \).

b) \( \begin{cases} 3x + 4y = 7 \\ 2x - 5y = 3 \end{cases} \)

Pasul 1: Pregătirea pentru metoda reducerii

Pentru a elimina necunoscuta \( x \), căutăm cel mai mic multiplu comun al coeficienților lui \( x \) (3 și 2), care este 6. Înmulțim prima ecuație cu 2 și pe a doua cu \( -3 \): \[ \begin{cases} 3x + 4y = 7 \mid \cdot 2 \\ 2x - 5y = 3 \mid \cdot (-3) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 8y = 14 \\ -6x + 15y = -9 \end{cases} \]

Pasul 2: Reducerea termenilor

Adunăm ecuațiile obținute: \( \cancel{6x} + 8y - \cancel{6x} + 15y = 14 - 9 \) \( 23y = 5 \)

Pasul 3: Aflarea valorii lui y

\( y = \frac{5}{23} \)

Pasul 4: Aflarea valorii lui x prin substituție

Înlocuim \( y \) în a doua ecuație inițială: \( 2x - 5 \cdot \frac{5}{23} = 3 \) \( 2x - \frac{25}{23} = 3 \mid \cdot 23 \) \( 46x - 25 = 69 \) \( 46x = 69 + 25 = 94 \) \( x = \frac{94}{46} = \frac{\cancel{94}^{47}}{\cancel{46}_{23}} = \frac{47}{23} \) Soluția sistemului este perechea \( \left(\frac{47}{23}, \frac{5}{23}\right) \).

a) \( 2x+y+2x-y=5+7 \implies 4x=12 \implies x=3 \); \( 2(3)+y=5 \implies y=-1 \). \( S=\{(3, -1)\} \). b) \( \begin{cases} 6x+8y=14 \\ -6x+15y=-9 \end{cases} \implies 23y=5 \implies y=\frac{5}{23} \); \( 2x=3+\frac{25}{23}=\frac{94}{23} \implies x=\frac{47}{23} \). \( S=\{(\frac{47}{23}, \frac{5}{23})\} \).