Cele mai importante aspecte ale lecției
Numerele reale (\( \mathbb{R} \)) includ toate fracțiile posibile și numerele iraționale (precum radicalii care nu pot fi extrași exact, ex. \( \sqrt{5} \)).
• Relația esențială pentru radicali și modul este \( \sqrt{x^2} = |x| \).
• Înmulțire/Împărțire: Se fac direct sub același radical (\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)).
• Adunare/Scădere: Se realizează doar între termeni asemenea, după scoaterea factorilor de sub radical.
• Media geometrică: \( m_g = \sqrt{a \cdot b} \).
• Ecuații cu pătrate: \( x^2 = a \) (pentru \( a > 0 \)) are mereu două soluții, \( x = \pm\sqrt{a} \).
• Relația esențială pentru radicali și modul este \( \sqrt{x^2} = |x| \).
• Înmulțire/Împărțire: Se fac direct sub același radical (\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)).
• Adunare/Scădere: Se realizează doar între termeni asemenea, după scoaterea factorilor de sub radical.
• Media geometrică: \( m_g = \sqrt{a \cdot b} \).
• Ecuații cu pătrate: \( x^2 = a \) (pentru \( a > 0 \)) are mereu două soluții, \( x = \pm\sqrt{a} \).
Dacă un număr pozitiv \( p \) este pătratul unui număr \( x \) (\( p = x^2 \)), atunci \( x \) este rădăcina pătrată a lui \( p \).
\[ \sqrt{p} = x \iff x^2 = p \quad (x \ge 0, p \ge 0) \]
Mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)) reunește toate numerele raționale și iraționale. Există o relație de incluziune între mulțimile de numere:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
- Numere raționale (\( \mathbb{Q} \)): Pot fi scrise sub formă de fracție \( \frac{a}{b} \). Exemple: \( 5; -2; 0,5; 1,(3); \sqrt{16} \).
- Numere iraționale (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)): Fracții zecimale infinite și neperiodice. Exemple: \( \sqrt{2}; \sqrt{7}; 3\sqrt{5} \).
Rădăcina pătrată dintr-un număr negativ nu este definită în mulțimea numerelor reale (ex. \( \sqrt{-4} \) nu are sens).
Stabiliți cărei mulțimi îi aparține numărul \( \sqrt{81} \) și numărul \( \sqrt{10} \).
\( \sqrt{81} = 9 \), deci aparține mulțimilor \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \).
\( \sqrt{10} \) nu se poate extrage exact (10 nu este pătrat perfect), deci este un număr irațional, aparținând mulțimii \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
\( \sqrt{10} \) nu se poate extrage exact (10 nu este pătrat perfect), deci este un număr irațional, aparținând mulțimii \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
Modulul unui număr real (\( |x| \)) reprezintă distanța pe axa numerelor de la originea axei până la punctul corespunzător numărului \( x \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x > 0 \\ 0, & \text{dacă } x = 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases} \]
Oricare ar fi numărul real \( x \), are loc relația fundamentală: \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Distanța dintre două puncte \( A(x_A) \) și \( B(x_B) \) pe axa numerelor se calculează folosind modulul diferenței coordonatelor:
\[ AB = |x_B - x_A| \]
Calculați \( \sqrt{(-5)^2} \) și distanța dintre punctele \( A(-3) \) și \( B(4) \).
\( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
Distanța \( AB = |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \).
Distanța \( AB = |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \).
Scoaterea factorilor de sub radical: \( \sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b} \). Se descompune numărul în factori primi, se grupează pătratele perfecte și se extrag.
Introducerea factorilor sub radical: \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) (pentru \( a \ge 0, b \ge 0 \)).
Raționalizarea numitorului înseamnă eliminarea radicalului de la numitor prin amplificarea fracției:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \quad (b > 0) \]
Scoateți factorii pentru \( \sqrt{72} \) și raționalizați fracția \( \frac{10}{\sqrt{5}} \).
1. Descompunem: \( 72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2 \). Deci \( \sqrt{72} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \).
2. Amplificăm cu \( \sqrt{5} \): \( \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).
2. Amplificăm cu \( \sqrt{5} \): \( \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).
Înmulțirea și Împărțirea: Radicalii se pot înmulți și împărți direct între ei.
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad \text{și} \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
Adunarea și Scăderea: Se pot aduna/scădea doar termenii asemenea (cei care au același radical).
\[ p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p + q)\sqrt{n} \]
Atenție! Radicalul unei sume NU este egal cu suma radicalilor: \( \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
Ridicarea la putere: \( (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} \). Dacă se ridică un radical la puterea a doua, radicalul dispare (pentru numere pozitive): \( (\sqrt{a})^2 = a \).
Calculați: \( 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} - \sqrt{50} \).
1. Înmulțirea: \( 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3 \cdot 6} = 10\sqrt{18} \).
2. Scoaterea factorilor pentru a obține termeni asemenea:
\( 10\sqrt{18} = 10\sqrt{9 \cdot 2} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
3. Scăderea: \( 30\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \).
2. Scoaterea factorilor pentru a obține termeni asemenea:
\( 10\sqrt{18} = 10\sqrt{9 \cdot 2} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
3. Scăderea: \( 30\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \).
Pentru a compara numere de forma \( a\sqrt{b} \), cel mai sigur mod este să introducem factorii sub radical.
\[ \text{Dacă } x \ge 0 \text{ și } y \ge 0, \text{ atunci } x \le y \iff \sqrt{x} \le \sqrt{y} \]
Dintre două numere negative, mai mare este cel care are modulul mai mic (este mai aproape de 0 pe axă).
Comparați numerele \( 4\sqrt{3} \) și \( 3\sqrt{5} \).
Introducem factorii sub radical:
\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
Deoarece \( 48 > 45 \), rezultă că \( \sqrt{48} > \sqrt{45} \), deci \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).
\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
Deoarece \( 48 > 45 \), rezultă că \( \sqrt{48} > \sqrt{45} \), deci \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).
Media aritmetică (\( m_a \)): Raportul dintre suma numerelor și numărul lor.
Media ponderată (\( m_p \)): Folosită când numerele au o anumită „pondere” sau frecvență. Se înmulțește fiecare număr cu ponderea sa, se adună, și se împarte la suma ponderilor.
Media geometrică (\( m_g \)): Rădăcina pătrată a produsului a două numere strict pozitive.
\[ m_g = \sqrt{a \cdot b} \quad (a > 0, b > 0) \]
Relația dintre medii pentru două numere pozitive diferite: \( m_g < m_a \).
Calculați media geometrică a numerelor \( a = 2 \) și \( b = 18 \).
\( m_g = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6 \).
Rezolvarea unei ecuații în care necunoscuta este la pătrat depinde de semnul numărului \( a \):
Dacă \( a > 0 \), ecuația are două soluții reale: \( x = \sqrt{a} \) și \( x = -\sqrt{a} \).
Dacă \( a = 0 \), ecuația are o singură soluție: \( x = 0 \).
Dacă \( a < 0 \), ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale (\( S = \varnothing \)).
Rezolvați ecuația \( (x - 2)^2 = 16 \) în mulțimea \( \mathbb{R} \).
Aplicăm radicalul și modulul:
\( \sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16} \)
\( |x - 2| = 4 \)
Avem două variante:
1) \( x - 2 = 4 \implies x = 6 \)
2) \( x - 2 = -4 \implies x = -2 \)
Soluția: \( S = \{-2, 6\} \).
\( \sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16} \)
\( |x - 2| = 4 \)
Avem două variante:
1) \( x - 2 = 4 \implies x = 6 \)
2) \( x - 2 = -4 \implies x = -2 \)
Soluția: \( S = \{-2, 6\} \).
Probleme practice
Ușoară: Scrieți sub formă simplificată expresia: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75} \).
Extragem factorii de sub radical pentru fiecare termen:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim și calculăm:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0 \).
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim și calculăm:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0 \).
Medie: Efectuați calculul și raționalizați numitorul: \( \left( \frac{6}{\sqrt{2}} - \sqrt{8} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \).
1. Raționalizăm primul termen și scoatem factorii din al doilea:
\( \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
2. Expresia din paranteză devine: \( 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
3. Înmulțim rezultatul parantezei cu fracția: \( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \).
\( \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
2. Expresia din paranteză devine: \( 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
3. Înmulțim rezultatul parantezei cu fracția: \( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \).
Medie: Aflați media geometrică a numerelor \( x = \sqrt{7} - \sqrt{3} \) și \( y = \sqrt{7} + \sqrt{3} \).
Formula mediei geometrice este \( m_g = \sqrt{x \cdot y} \).
Calculăm produsul celor două numere folosind diferența pătratelor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( x \cdot y = (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).
Calculăm rădăcina pătrată a produsului:
\( m_g = \sqrt{4} = 2 \).
Calculăm produsul celor două numere folosind diferența pătratelor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( x \cdot y = (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).
Calculăm rădăcina pătrată a produsului:
\( m_g = \sqrt{4} = 2 \).
Dificilă: Aflați numerele reale \( x \) care verifică ecuația: \( \sqrt{(x - 3)^2} + 5 = 12 \).
Folosim proprietatea \( \sqrt{a^2} = |a| \).
Ecuația devine: \( |x - 3| + 5 = 12 \).
Izolăm modulul: \( |x - 3| = 12 - 5 \implies |x - 3| = 7 \).
Desfacem modulul în două cazuri:
1) \( x - 3 = 7 \implies x = 10 \)
2) \( x - 3 = -7 \implies x = -4 \)
Mulțimea soluțiilor este \( S = \{-4, 10\} \).
Ecuația devine: \( |x - 3| + 5 = 12 \).
Izolăm modulul: \( |x - 3| = 12 - 5 \implies |x - 3| = 7 \).
Desfacem modulul în două cazuri:
1) \( x - 3 = 7 \implies x = 10 \)
2) \( x - 3 = -7 \implies x = -4 \)
Mulțimea soluțiilor este \( S = \{-4, 10\} \).
