Cele mai importante aspecte ale lecției
- Definiție de bază: \( \sqrt{p} = x \) înseamnă \( p = x^2 \), condiția obligatorie fiind ca ambele numere să fie pozitive.
- Estimare (Încadrare): Pentru a aproxima o rădăcină, o încadrăm între radicalii a două pătrate perfecte. Exemplu: \( 16 < 22 < 25 \implies 4 < \sqrt{22} < 5 \).
- Aproximări: Din inegalitatea \( p < \sqrt{x} < p + 1 \), valoarea \( p \) se numește aproximare prin lipsă, iar \( p + 1 \) este aproximare prin adaos.
- Numărul de cifre: Grupare de la dreapta la stânga în perechi. Ex: \( \sqrt{1|23|45} \) are 3 grupe, deci aproximarea sa la întregi are 3 cifre.
Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv \( p \) este numărul pozitiv \( x \), al cărui pătrat este egal cu \( p \).
\[ \text{Dacă } p \ge 0 \text{ și } x \ge 0 \text{, atunci } \sqrt{p} = x \iff p = x^2 \]
Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu se definește (dacă \( p < 0 \), expresia \( \sqrt{p} \) nu are sens).
Scrierea \( \sqrt{p} \) oferă următoarele informații matematice:
- \( p \ge 0 \) (numărul de sub radical trebuie să fie pozitiv sau zero);
- \( \sqrt{p} \ge 0 \) (rezultatul extragerii rădăcinii pătrate este întotdeauna pozitiv sau zero);
- \( (\sqrt{p})^2 = p \) și \( \sqrt{x^2} = x \) (pentru \( x \ge 0 \)).
\( \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \), deoarece \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \).
\( \sqrt{0,5625} = 0,75 \), deoarece \( 0,75^2 = 0,5625 \).
\( \sqrt{0,5625} = 0,75 \), deoarece \( 0,75^2 = 0,5625 \).
Calculați \( \sqrt{784} \), știind că \( 784 = 2^4 \cdot 7^2 \).
Restrângem numărul ca un pătrat perfect:
\( 784 = (2^2 \cdot 7^1)^2 = (4 \cdot 7)^2 = 28^2 \).
Prin urmare, \( \sqrt{784} = \sqrt{28^2} = 28 \).
Rădăcina pătrată dintr-un număr natural care nu este pătrat perfect nu este un număr natural, însă valoarea ei poate fi estimată prin încadrarea între două numere naturale consecutive.
Se caută cele mai apropiate două pătrate perfecte: unul mai mic decât numărul dat, și unul mai mare.
Se aplică rădăcina pătrată pe inegalitatea obținută.
Pentru a estima \( \sqrt{40} \):
Pătratul perfect mai mic este 36 (\(6^2\)), iar cel mai mare este 49 (\(7^2\)).
Scriem: \( 36 < 40 < 49 \).
Aplicând radicalul: \( \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \), de unde rezultă \( 6 < \sqrt{40} < 7 \).
Așadar, \( \sqrt{40} \) este situat între 6 și 7.
Pătratul perfect mai mic este 36 (\(6^2\)), iar cel mai mare este 49 (\(7^2\)).
Scriem: \( 36 < 40 < 49 \).
Aplicând radicalul: \( \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \), de unde rezultă \( 6 < \sqrt{40} < 7 \).
Așadar, \( \sqrt{40} \) este situat între 6 și 7.
Încadrați numărul \( \sqrt{88} \) între două numere naturale consecutive.
Căutăm pătratele perfecte vecine lui 88. Acestea sunt 81 (\(9^2\)) și 100 (\(10^2\)).
\( 81 < 88 < 100 \)
\( \sqrt{81} < \sqrt{88} < \sqrt{100} \)
\( 9 < \sqrt{88} < 10 \).
\( 81 < 88 < 100 \)
\( \sqrt{81} < \sqrt{88} < \sqrt{100} \)
\( 9 < \sqrt{88} < 10 \).
Când un număr este încadrat între două valori (la unități, zecimi, sutimi etc.), capătul din stânga reprezintă aproximarea prin lipsă, iar capătul din dreapta reprezintă aproximarea prin adaos.
Dacă \( p \) este aproximarea la unități a numărului real \( \sqrt{x} \), rezultă că:
\[ p \le \sqrt{x} < p + 1 \]
Unde:
- \( p \) este aproximarea prin lipsă la unități.
- \( p + 1 \) este aproximarea prin adaos la unități.
Dacă \( 23,8 < \sqrt{569} < 23,9 \), rezultă:
- \( \sqrt{569} \approx 23,8 \) (aproximarea prin lipsă la zecimi);
- \( \sqrt{569} \approx 23,9 \) (aproximarea prin adaos la zecimi).
- \( \sqrt{569} \approx 23 \) (aproximarea prin lipsă la unități, deoarece \(23 < 23,8 < 24\));
- \( \sqrt{569} \approx 24 \) (aproximarea prin adaos la unități).
Determinați aproximarea la întregi (unități) prin lipsă și prin adaos a numărului \( \sqrt{5} \).
Încadrăm numărul: \( 2^2 < 5 < 3^2 \implies 4 < 5 < 9 \implies \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{5} < 3 \).
Aproximarea prin lipsă la întregi este \( 2 \).
Aproximarea prin adaos la întregi este \( 3 \).
Aproximarea prin lipsă la întregi este \( 2 \).
Aproximarea prin adaos la întregi este \( 3 \).
Pentru a afla câte cifre va avea aproximarea la unități (partea întreagă) a rădăcinii pătrate a unui număr natural, despărțim numărul de la dreapta spre stânga în grupe de câte două cifre. Numărul de cifre ale rădăcinii pătrate este egal cu numărul grupelor formate.
Dacă numărul are un număr impar de cifre, ultima grupă din stânga va fi formată dintr-o singură cifră.
Câte cifre are numărul natural \( p \), dacă \( \sqrt{26734} \approx p \)?
Împărțim numărul \( 26734 \) în grupe de la dreapta la stânga: \( \sqrt{2|67|34} \).
Am format 3 grupe, așadar aproximarea la unități \( p \) va avea 3 cifre.
Împărțim numărul \( 26734 \) în grupe de la dreapta la stânga: \( \sqrt{2|67|34} \).
Am format 3 grupe, așadar aproximarea la unități \( p \) va avea 3 cifre.
Fără a calcula, determinați numărul de cifre ale aproximării la unități pentru \( \sqrt{4521} \).
Despărțim numărul în grupe de câte două cifre, de la dreapta spre stânga: \( \sqrt{45|21} \).
S-au format 2 grupe, prin urmare aproximarea va avea 2 cifre.
S-au format 2 grupe, prin urmare aproximarea va avea 2 cifre.
Exerciții și probleme
Ușoară: Scrieți numerele următoare sub formă de numere raționale libere de radical: \( \sqrt{81} \) și \( \sqrt{\frac{25}{36}} \).
\( \sqrt{81} = 9 \) (deoarece \( 9^2 = 81 \)).
\( \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \) (deoarece \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \)).
\( \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \) (deoarece \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \)).
Medie: Încadrați numărul \( \sqrt{137} \) între două numere întregi consecutive și precizați aproximarea la întregi prin adaos.
Căutăm pătratele perfecte: \( 11^2 = 121 \) și \( 12^2 = 144 \).
\( 121 < 137 < 144 \)
\( \sqrt{121} < \sqrt{137} < \sqrt{144} \)
\( 11 < \sqrt{137} < 12 \)
Aproximarea la întregi prin adaos este valoarea mai mare din inegalitate.
Răspuns: Aproximarea prin adaos este 12.
\( 121 < 137 < 144 \)
\( \sqrt{121} < \sqrt{137} < \sqrt{144} \)
\( 11 < \sqrt{137} < 12 \)
Aproximarea la întregi prin adaos este valoarea mai mare din inegalitate.
Răspuns: Aproximarea prin adaos este 12.
Dificilă: Se știe că \( \sqrt{1427} \) se află între 37,7 și 37,8. Precizați:
a) Aproximarea prin lipsă la întregi;
b) Aproximarea prin adaos la zecimi.
a) Aproximarea prin lipsă la întregi;
b) Aproximarea prin adaos la zecimi.
Avem inegalitatea: \( 37,7 < \sqrt{1427} < 37,8 \).
Aceasta înseamnă că la nivel de întregi (unități), numărul este situat între 37 și 38 (\( 37 < \sqrt{1427} < 38 \)).
a) Aproximarea prin lipsă la întregi este marginea stângă la nivel de unități: 37.
b) Aproximarea prin adaos la zecimi este marginea dreaptă a inegalității cu zecimi: 37,8.
Aceasta înseamnă că la nivel de întregi (unități), numărul este situat între 37 și 38 (\( 37 < \sqrt{1427} < 38 \)).
a) Aproximarea prin lipsă la întregi este marginea stângă la nivel de unități: 37.
b) Aproximarea prin adaos la zecimi este marginea dreaptă a inegalității cu zecimi: 37,8.
