Cele mai importante aspecte ale lecției
Trapezul este patrulaterul cu două laturi paralele (baze) și două neparalele. Unghiurile pe o latură neparalelă sumează \(180^\circ\).
Linia mijlocie: Unește mijloacele laturilor neparalele. Este paralelă cu bazele și se calculează ca \( \frac{B + b}{2} \). (Ex: pt. baze de 10 și 4, linia mijlocie este 7).
Segmentul dintre diagonale pe linia mijlocie se calculează ca \( \frac{B - b}{2} \). (Ex: pt. baze de 10 și 4, segmentul este 3).
Trapezul isoscel: Are laturile neparalele egale, unghiurile de la baze egale și diagonalele egale. Dacă un trapez îndeplinește oricare dintre aceste condiții, este isoscel.
Linia mijlocie: Unește mijloacele laturilor neparalele. Este paralelă cu bazele și se calculează ca \( \frac{B + b}{2} \). (Ex: pt. baze de 10 și 4, linia mijlocie este 7).
Segmentul dintre diagonale pe linia mijlocie se calculează ca \( \frac{B - b}{2} \). (Ex: pt. baze de 10 și 4, segmentul este 3).
Trapezul isoscel: Are laturile neparalele egale, unghiurile de la baze egale și diagonalele egale. Dacă un trapez îndeplinește oricare dintre aceste condiții, este isoscel.
Trapezul este patrulaterul care are două laturi paralele și două laturi neparalele.
Laturile paralele se numesc baze (baza mare și baza mică).
Unghiurile alăturate unei laturi neparalele ale unui trapez sunt întotdeauna suplementare (suma lor este \(180^\circ\)).
Clasificarea trapezelor:
- Trapez oarecare: Laturile neparalele sunt inegale, iar unghiurile nu au proprietăți speciale în afară de cele generale.
- Trapez dreptunghic: Are un unghi drept (ceea ce implică automat prezența a două unghiuri drepte alăturate laturii neparalele perpendiculare pe baze).
- Trapez isoscel: Are laturile neparalele congruente.
Într-un trapez \(ABCD\) cu bazele \(AB \parallel CD\), măsura unghiului \(\angle A\) este de \(75^\circ\). Calculați măsura unghiului \(\angle D\).
Răspuns: Deoarece unghiurile alăturate laturii neparalele \(AD\) sunt suplementare, \(\angle A + \angle D = 180^\circ\).
Deci, \(\angle D = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
Deci, \(\angle D = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele.
Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma lungimilor bazelor.
Dacă \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor neparalele, atunci:
\[ EF \parallel AB \parallel CD \quad \text{și} \quad EF = \frac{AB + CD}{2} \]
Teorema reciprocă: Paralela dusă la baza unui trapez printr-un mijloc al unei laturi neparalele este linia mijlocie a trapezului.
Segmentul determinat de diagonale pe linia mijlocie: Mijloacele diagonalelor se află pe linia mijlocie și determină un segment cu lungimea egală cu semidiferența bazelor.
Dacă \(N\) și \(P\) sunt mijloacele diagonalelor, atunci \(N\) și \(P\) aparțin liniei mijlocii, iar:
\[ NP = \frac{|AB - CD|}{2} \]
Un trapez are bazele de \(14 \text{ cm}\) și \(6 \text{ cm}\). Calculați lungimea liniei mijlocii și lungimea segmentului determinat de diagonale pe aceasta.
Linia mijlocie: \(L_m = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}\).
Segmentul dintre diagonale: \(NP = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\).
Segmentul dintre diagonale: \(NP = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\).
Trapezul isoscel este trapezul ale cărui laturi neparalele sunt congruente (\(AD \equiv BC\)).
Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente.
\[ \angle ABC \equiv \angle BAD \quad \text{și} \quad \angle DCB \equiv \angle ADC \]
Într-un trapez isoscel, diagonalele sunt congruente.
\[ AC \equiv BD \]
Teoreme reciproce:
1. Dacă un trapez are unghiurile alăturate unei baze congruente, atunci este isoscel.
2. Dacă un trapez are diagonalele congruente, atunci este isoscel.
1. Dacă un trapez are unghiurile alăturate unei baze congruente, atunci este isoscel.
2. Dacă un trapez are diagonalele congruente, atunci este isoscel.
Probleme practice
Ușoară: Într-un trapez dreptunghic, un unghi ascuțit are măsura de \(40^\circ\). Aflați măsurile celorlalte trei unghiuri ale trapezului.
Prin definiție, trapezul dreptunghic are două unghiuri drepte (\(90^\circ\)).
Unghiurile alăturate laturii neparalele (care nu este perpendiculară pe baze) sunt suplementare.
Măsura unghiului obtuz va fi: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).
Răspuns: Măsurile unghiurilor sunt \(90^\circ\), \(90^\circ\), \(140^\circ\) și \(40^\circ\).
Unghiurile alăturate laturii neparalele (care nu este perpendiculară pe baze) sunt suplementare.
Măsura unghiului obtuz va fi: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).
Răspuns: Măsurile unghiurilor sunt \(90^\circ\), \(90^\circ\), \(140^\circ\) și \(40^\circ\).
Medie: Linia mijlocie a unui trapez are lungimea de \(15 \text{ cm}\), iar baza mică este de \(8 \text{ cm}\). Calculați lungimea bazei mari.
Formula liniei mijlocii este: \(L_m = \frac{B + b}{2}\), unde \(B\) este baza mare și \(b\) este baza mică.
Înlocuim datele: \(15 = \frac{B + 8}{2}\)
Înmulțim cu 2: \(30 = B + 8\)
\(B = 30 - 8 = 22 \text{ cm}\).
Răspuns: Baza mare are \(22 \text{ cm}\).
Înlocuim datele: \(15 = \frac{B + 8}{2}\)
Înmulțim cu 2: \(30 = B + 8\)
\(B = 30 - 8 = 22 \text{ cm}\).
Răspuns: Baza mare are \(22 \text{ cm}\).
Dificilă: Într-un trapez, linia mijlocie are \(18 \text{ cm}\), iar segmentul determinat de intersecția ei cu diagonalele are lungimea de \(4 \text{ cm}\). Aflați lungimile bazelor trapezului.
Notăm baza mare cu \(B\) și baza mică cu \(b\). Avem sistemul de relații matematice:
1. Din linia mijlocie: \(\frac{B + b}{2} = 18 \implies B + b = 36\)
2. Din segmentul dintre diagonale: \(\frac{B - b}{2} = 4 \implies B - b = 8\)
Adunăm cele două ecuații: \((B + b) + (B - b) = 36 + 8\)
\(2B = 44 \implies B = 22 \text{ cm}\).
Înlocuim pentru a afla \(b\): \(22 + b = 36 \implies b = 14 \text{ cm}\).
Răspuns: Bazele trapezului sunt de \(22 \text{ cm}\) și \(14 \text{ cm}\).
1. Din linia mijlocie: \(\frac{B + b}{2} = 18 \implies B + b = 36\)
2. Din segmentul dintre diagonale: \(\frac{B - b}{2} = 4 \implies B - b = 8\)
Adunăm cele două ecuații: \((B + b) + (B - b) = 36 + 8\)
\(2B = 44 \implies B = 22 \text{ cm}\).
Înlocuim pentru a afla \(b\): \(22 + b = 36 \implies b = 14 \text{ cm}\).
Răspuns: Bazele trapezului sunt de \(22 \text{ cm}\) și \(14 \text{ cm}\).
