Cele mai importante aspecte ale lecției
Sistemul \( xOy \): Format din axa absciselor (\( Ox \), orizontală) și axa ordonatelor (\( Oy \), verticală), cu originea în \( O(0,0) \).
Punctul \( A(x, y) \): \( x \) este mereu pe axa orizontală, \( y \) este mereu pe axa verticală. Ordinea nu se inversează niciodată.
Cadrane: Planul este împărțit în 4 cadrane. Semnele coordonatelor \((x, y)\) determină poziția: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-).
Punctul \( A(x, y) \): \( x \) este mereu pe axa orizontală, \( y \) este mereu pe axa verticală. Ordinea nu se inversează niciodată.
Cadrane: Planul este împărțit în 4 cadrane. Semnele coordonatelor \((x, y)\) determină poziția: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-).
Două drepte perpendiculare pe care s-a fixat o unitate de măsură (u.m.) și un sens pozitiv (indicat de săgeți) formează un sistem de coordonate ortogonale în plan.
Originea sistemului: punctul \( O \) (punctul de intersecție a celor două axe).
Axa orizontală (\( Ox \)): axa absciselor.
Axa verticală (\( Oy \)): axa ordonatelor.
Sistemul se notează pe scurt \( xOy \).
O pereche ordonată de numere reale \( (x, y) \) se reprezintă în plan printr-un singur punct. Cele două numere reprezintă coordonatele punctului.
- Primul număr, \( x \), reprezintă abscisa și se caută pe axa orizontală \( Ox \).
- Al doilea număr, \( y \), reprezintă ordonata și se caută pe axa verticală \( Oy \).
Se scrie \( A(x, y) \) și se citește: „Punctul \( A \) de coordonate \( x \) și \( y \)”.
Reprezentăm numărul \( x \) pe axa \( Ox \) și numărul \( y \) pe axa \( Oy \).
Tragem o dreaptă perpendiculară pe \( Ox \) prin \( x \) și o dreaptă perpendiculară pe \( Oy \) prin \( y \).
Intersecția celor două perpendiculare este punctul căutat \( A(x, y) \).
Pentru a reprezenta punctul \( M(-1, 2) \), abscisa este \( -1 \), iar ordonata este \( 2 \).
Scrieți coordonatele unui punct \( P \), știind că ordonata sa este 5, iar abscisa sa este -3.
Deoarece abscisa (\( x \)) se scrie prima, iar ordonata (\( y \)) se scrie a doua, punctul este \( P(-3, 5) \).
Cele două axe, \( Ox \) și \( Oy \), împart planul în 4 regiuni numite cadrane, notate cu cifre romane, în sens invers acelor de ceasornic (sens trigonometric), pornind din dreapta-sus.
| Cadran | Semnul abscisei (\( x \)) | Semnul ordonatei (\( y \)) |
|---|---|---|
| Cadranul I | \( x > 0 \) (+) | \( y > 0 \) (+) |
| Cadranul II | \( x < 0 \) (-) | \( y > 0 \) (+) |
| Cadranul III | \( x < 0 \) (-) | \( y < 0 \) (-) |
| Cadranul IV | \( x > 0 \) (+) | \( y < 0 \) (-) |
Stabiliți în ce cadran se află punctul \( B(-4, -2) \).
Abscisa este negativă (\( -4 < 0 \)), iar ordonata este negativă (\( -2 < 0 \)). Prin urmare, punctul se află în Cadranul III.
Dacă coordonatele punctului sunt numere iraționale (ex: radicali), pentru a le reprezenta pe axă, se utilizează o aproximare zecimală a acestora.
Pentru a reprezenta perechea \( (\sqrt{2}, -\sqrt{3}) \):
- Aproximăm \( \sqrt{2} \approx 1,4 \). Pe axa \( Ox \), măsurăm 1,4 u.m. de la origine în sensul pozitiv.
- Aproximăm \( -\sqrt{3} \approx -1,7 \). Pe axa \( Oy \), măsurăm 1,7 u.m. de la origine în sensul negativ (în jos).
Probleme propuse
Ușoară: Scrieți care sunt coordonatele originii sistemului de axe ortogonale \( xOy \). Dacă un punct are coordonatele de forma \( (a, 0) \), pe ce axă se află acesta?
Originea sistemului are coordonatele \( O(0, 0) \).
Orice punct de forma \( (a, 0) \) (adică are ordonata zero) se află pe axa orizontală, axa absciselor (\( Ox \)).
Orice punct de forma \( (a, 0) \) (adică are ordonata zero) se află pe axa orizontală, axa absciselor (\( Ox \)).
Medie: Se consideră ecuația \( y = 2x - 2 \), unde \( x \in \{0, 2\} \). Aflați valorile lui \( y \), scrieți perechile de coordonate \( (x, y) \) sub formă de puncte și menționați în ce cadrane/pe ce axe se află.
Calculăm \( y \) pentru fiecare valoare a lui \( x \):
- Dacă \( x = 0 \implies y = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \). Punctul este \( A(0, -2) \). Acesta se află pe axa \( Oy \) (partea negativă).
- Dacă \( x = 2 \implies y = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \). Punctul este \( B(2, 2) \). Acesta se află în Cadranul I (ambele coordonate sunt pozitive).
Dificilă: Fie mulțimea de puncte \( M = \{ P(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x > 0 \text{ și } y < 0 \} \). Stabiliți în ce cadran este situată reprezentarea geometrică a tuturor punctelor din mulțimea \( M \) și dați un exemplu de astfel de punct.
Condiția \( x > 0 \) înseamnă abscisă pozitivă (dreapta originii pe \( Ox \)).
Condiția \( y < 0 \) înseamnă ordonată negativă (sub origine pe \( Oy \)).
Regiunea care respectă ambele condiții este Cadranul IV.
Exemplu de punct: \( P(3, -5) \).
Condiția \( y < 0 \) înseamnă ordonată negativă (sub origine pe \( Oy \)).
Regiunea care respectă ambele condiții este Cadranul IV.
Exemplu de punct: \( P(3, -5) \).
