Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, putem folosi oricare dintre cele trei criterii:
1. Criteriul UU (Unghi-Unghi): Verificăm dacă triunghiurile au două unghiuri respectiv congruente. (Este cel mai des utilizat criteriu în probleme).
2. Criteriul LUL (Latură-Unghi-Latură): Căutăm un unghi congruent cuprins între două laturi proporționale (\( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \)).
3. Criteriul LLL (Latură-Latură-Latură): Verificăm dacă toate cele trei perechi de laturi formează același raport (\( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \)).
Consecință: Odată demonstrată asemănarea prin orice criteriu, putem folosi faptul că toate unghiurile omoloage sunt congruente și toate laturile omoloage sunt proporționale pentru a afla elemente necunoscute.
1. Criteriul UU (Unghi-Unghi): Verificăm dacă triunghiurile au două unghiuri respectiv congruente. (Este cel mai des utilizat criteriu în probleme).
2. Criteriul LUL (Latură-Unghi-Latură): Căutăm un unghi congruent cuprins între două laturi proporționale (\( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \)).
3. Criteriul LLL (Latură-Latură-Latură): Verificăm dacă toate cele trei perechi de laturi formează același raport (\( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \)).
Consecință: Odată demonstrată asemănarea prin orice criteriu, putem folosi faptul că toate unghiurile omoloage sunt congruente și toate laturile omoloage sunt proporționale pentru a afla elemente necunoscute.
Două triunghiuri care au două unghiuri respectiv congruente sunt asemenea.
Dacă \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( \measuredangle B \equiv \measuredangle B' \),
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
Deoarece suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este întotdeauna 180°, dacă două unghiuri sunt congruente, și cel de-al treilea unghi va fi obligatoriu congruent (\( \measuredangle C \equiv \measuredangle C' \)).
Fie \( \triangle ABC \) cu \( \measuredangle A = 40^\circ \) și \( \measuredangle B = 80^\circ \), și \( \triangle MNP \) cu \( \measuredangle M = 40^\circ \) și \( \measuredangle N = 80^\circ \). Sunt cele două triunghiuri asemenea?
Da. Deoarece \( \measuredangle A \equiv \measuredangle M \) (\( 40^\circ \)) și \( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \) (\( 80^\circ \)), conform criteriului UU rezultă că \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \).
Două triunghiuri care au o pereche de unghiuri respectiv congruente și laturile care determină aceste unghiuri respectiv proporționale sunt asemenea.
Dacă \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \),
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
Se dau \( \triangle DEF \) cu \( DE = 4 \text{ cm} \), \( DF = 6 \text{ cm} \), \( \measuredangle D = 50^\circ \) și \( \triangle PQR \) cu \( PQ = 8 \text{ cm} \), \( PR = 12 \text{ cm} \), \( \measuredangle P = 50^\circ \). Demonstrați că triunghiurile sunt asemenea.
Avem \( \measuredangle D \equiv \measuredangle P \) (ambele au \( 50^\circ \)).
Verificăm proporționalitatea laturilor care formează unghiurile: \[ \frac{DE}{PQ} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{DF}{PR} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Deoarece \( \frac{DE}{PQ} = \frac{DF}{PR} \), conform criteriului LUL, \( \triangle DEF \sim \triangle PQR \).
Verificăm proporționalitatea laturilor care formează unghiurile: \[ \frac{DE}{PQ} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{DF}{PR} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Deoarece \( \frac{DE}{PQ} = \frac{DF}{PR} \), conform criteriului LUL, \( \triangle DEF \sim \triangle PQR \).
Două triunghiuri care au laturile respectiv proporționale sunt asemenea.
Dacă \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \),
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
atunci \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
Laturile \( \triangle ABC \) sunt de 3 cm, 4 cm și 5 cm, iar laturile \( \triangle XYZ \) sunt de 9 cm, 12 cm și 15 cm. Verificați dacă triunghiurile sunt asemenea.
Ordonăm laturile crescător și scriem rapoartele laturilor omoloage:
\[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3}; \quad \frac{4}{12} = \frac{1}{3}; \quad \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]
Deoarece toate cele trei rapoarte sunt egale, conform criteriului LLL, \( \triangle ABC \sim \triangle XYZ \).
Utilizarea asemănării triunghiurilor este o metodă esențială de rezolvare a multor probleme de geometrie. Aceasta ne permite să:
- Calculăm lungimi de segmente necunoscute scriind rapoartele de proporționalitate (\( \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \)).
- Demonstrăm congruența unor unghiuri, știind că triunghiurile asemenea au unghiurile omoloage congruente.
- Rezolvăm probleme mai complexe deducând relații din rapoarte (de exemplu, transformând un raport într-un produs pe diagonală: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c \)).
Exerciții
Ușoară: Fie \( \triangle ABC \) și \( \triangle DEF \). Se știe că \( \measuredangle A = 45^\circ \), \( \measuredangle B = 75^\circ \) și \( \measuredangle E = 75^\circ \), \( \measuredangle F = 60^\circ \). Stabiliți dacă \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
Calculăm măsura celui de-al treilea unghi în ambele triunghiuri:
În \( \triangle ABC \): \( \measuredangle C = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
În \( \triangle DEF \): \( \measuredangle D = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
Observăm că \( \measuredangle A \equiv \measuredangle D \) (\( 45^\circ \)) și \( \measuredangle B \equiv \measuredangle E \) (\( 75^\circ \)).
Conform criteriului UU, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
În \( \triangle ABC \): \( \measuredangle C = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
În \( \triangle DEF \): \( \measuredangle D = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
Observăm că \( \measuredangle A \equiv \measuredangle D \) (\( 45^\circ \)) și \( \measuredangle B \equiv \measuredangle E \) (\( 75^\circ \)).
Conform criteriului UU, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
Medie: Se dau triunghiurile \( ABC \) și \( MNP \). Se cunosc \( AB = 10 \text{ cm} \), \( BC = 12 \text{ cm} \), \( \measuredangle B = 60^\circ \), respectiv \( MN = 5 \text{ cm} \), \( NP = 6 \text{ cm} \), \( \measuredangle N = 60^\circ \). Precizați dacă triunghiurile sunt asemenea și scrieți raportul de proporționalitate al tuturor laturilor.
Avem \( \measuredangle B \equiv \measuredangle N = 60^\circ \).
Verificăm rapoartele laturilor care formează aceste unghiuri:
\( \frac{AB}{MN} = \frac{10}{5} = 2 \)
\( \frac{BC}{NP} = \frac{12}{6} = 2 \)
Deoarece \( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \) și \( \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} \), conform criteriului LUL, \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \).
Astfel, raportul de asemănare este 2, de unde rezultă că pentru toate laturile avem: \( \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{AC}{MP} = 2 \).
Verificăm rapoartele laturilor care formează aceste unghiuri:
\( \frac{AB}{MN} = \frac{10}{5} = 2 \)
\( \frac{BC}{NP} = \frac{12}{6} = 2 \)
Deoarece \( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \) și \( \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} \), conform criteriului LUL, \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \).
Astfel, raportul de asemănare este 2, de unde rezultă că pentru toate laturile avem: \( \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{AC}{MP} = 2 \).
Dificilă: Punctul \( M \) aparține laturii \( BC \) a triunghiului \( ABC \), astfel încât \( \measuredangle ABC \equiv \measuredangle MAC \).
a) Demonstrați că \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \).
b) Deduceți relația: \( AC^2 = BC \cdot MC \).
a) Demonstrați că \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \).
b) Deduceți relația: \( AC^2 = BC \cdot MC \).
a) Analizăm triunghiurile \( CAM \) și \( CBA \):
1. \( \measuredangle C \) este unghi comun ambelor triunghiuri (\( \measuredangle ACM \equiv \measuredangle BCA \)).
2. Din ipoteză avem \( \measuredangle MAC \equiv \measuredangle ABC \).
Având două perechi de unghiuri congruente, aplicăm criteriul UU: \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \).
b) Deoarece \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \), laturile omoloage sunt proporționale. Scriem rapoartele de asemănare: \[ \frac{CA}{CB} = \frac{AM}{BA} = \frac{CM}{CA} \] Din egalitatea \( \frac{CA}{CB} = \frac{CM}{CA} \) (sau \( \frac{AC}{BC} = \frac{MC}{AC} \)), înmulțind pe diagonală, obținem produsul: \[ AC \cdot AC = BC \cdot MC \Rightarrow AC^2 = BC \cdot MC \]
1. \( \measuredangle C \) este unghi comun ambelor triunghiuri (\( \measuredangle ACM \equiv \measuredangle BCA \)).
2. Din ipoteză avem \( \measuredangle MAC \equiv \measuredangle ABC \).
Având două perechi de unghiuri congruente, aplicăm criteriul UU: \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \).
b) Deoarece \( \triangle CAM \sim \triangle CBA \), laturile omoloage sunt proporționale. Scriem rapoartele de asemănare: \[ \frac{CA}{CB} = \frac{AM}{BA} = \frac{CM}{CA} \] Din egalitatea \( \frac{CA}{CB} = \frac{CM}{CA} \) (sau \( \frac{AC}{BC} = \frac{MC}{AC} \)), înmulțind pe diagonală, obținem produsul: \[ AC \cdot AC = BC \cdot MC \Rightarrow AC^2 = BC \cdot MC \]
