Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli esențiale:
• Scoaterea factorilor: Se caută pătrate perfecte în interiorul radicalului. Ele ies în față fără puterea a doua. \( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \).
• Introducerea factorilor: Numărul din exterior intră sub radical ridicat la pătrat. \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b} \) (pentru \( a \ge 0 \)).
• Semnul minus: Niciodată nu se introduce un număr negativ sub un radical de ordin par; semnul "-" se lasă în exterior! \( -x\sqrt{y} = -\sqrt{x^2y} \).
• Scoaterea factorilor: Se caută pătrate perfecte în interiorul radicalului. Ele ies în față fără puterea a doua. \( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \).
• Introducerea factorilor: Numărul din exterior intră sub radical ridicat la pătrat. \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b} \) (pentru \( a \ge 0 \)).
• Semnul minus: Niciodată nu se introduce un număr negativ sub un radical de ordin par; semnul "-" se lasă în exterior! \( -x\sqrt{y} = -\sqrt{x^2y} \).
Operațiile cu radicali se bazează pe două proprietăți fundamentale referitoare la înmulțire și împărțire, valabile pentru numere raționale pozitive.
Radicalul unui produs:
\[ \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \]
(oricare ar fi \( p, q \ge 0 \))
Radicalul unui cât: \[ \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} \] (oricare ar fi \( p \ge 0 \) și \( q > 0 \))
Radicalul unui cât: \[ \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} \] (oricare ar fi \( p \ge 0 \) și \( q > 0 \))
Dacă \( x \) este un număr rațional pozitiv, atunci pătratul său sub radical se simplifică: \( \sqrt{x^2} = x \).
\( \sqrt{7^2} = 7 \)
\( \sqrt{0,34^2} = 0,34 \)
\( \sqrt{\left(\frac{11}{9}\right)^2} = \frac{11}{9} \)
\( \sqrt{0,34^2} = 0,34 \)
\( \sqrt{\left(\frac{11}{9}\right)^2} = \frac{11}{9} \)
Introducerea unui factor aflat în fața radicalului sub semnul radical se face prin ridicarea acestuia la pătrat.
Pentru numere pozitive (\( p, q \ge 0 \)):
\[ p\sqrt{q} = \sqrt{p^2 \cdot q} \]
Dacă factorul din fața radicalului este negativ, semnul minus rămâne în afara radicalului! Se introduce doar valoarea pozitivă a numărului.
Dacă \( p < 0 \) și \( q \ge 0 \), atunci \( p\sqrt{q} = -\sqrt{p^2 \cdot q} \).
Dacă \( p < 0 \) și \( q \ge 0 \), atunci \( p\sqrt{q} = -\sqrt{p^2 \cdot q} \).
Exemplu cu număr pozitiv: \( 2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72} \)
Exemplu cu număr negativ: \( -3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45} \)
Exemplu cu număr negativ: \( -3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45} \)
Introduceți factorul sub radical pentru numărul \( 5\sqrt{3} \).
Aplicăm formula ridicând factorul 5 la pătrat sub radical:
\( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \)
\( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \)
Scoaterea factorilor reprezintă procesul invers: scrierea unui radical \( \sqrt{A} \) sub forma \( a\sqrt{b} \), unde \( b \) nu mai conține niciun divizor care să fie pătrat perfect.
Pentru numere raționale (\( p \in \mathbb{R} \), \( q \ge 0 \)):
\[ \sqrt{p^2 \cdot q} = |p|\sqrt{q} \]
*Dacă p este pozitiv, modulul nu mai este necesar: \( \sqrt{p^2 \cdot q} = p\sqrt{q} \).
Descompunem numărul de sub radical în factori primi.
Grupăm factorii identici câte doi pentru a forma pătrate perfecte (\( x^2 \)).
Scoatem factorii la puterea a doua în fața radicalului (fără exponentul 2). Factorii fără pereche rămân înmulțiți sub radical.
Să scoatem factorii de sub \( \sqrt{48} \):
1. Descompunem: \( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
2. Grupăm pătratele: \( 48 = (2^2)^2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 \)
3. Scoatem factorul de sub radical: \( \sqrt{48} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \)
1. Descompunem: \( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
2. Grupăm pătratele: \( 48 = (2^2)^2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 \)
3. Scoatem factorul de sub radical: \( \sqrt{48} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \)
Scoateți factorii de sub radical pentru \( \sqrt{50} \).
Observăm că \( 50 \) poate fi scris ca \( 25 \cdot 2 \), unde \( 25 \) este pătrat perfect (\( 5^2 \)).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
Probleme de practică
Ușoară: Introduceți factorii sub radical pentru numerele \( 4\sqrt{2} \) și \( -2\sqrt{7} \).
Pentru \( 4\sqrt{2} \):
\( 4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32} \)
Pentru \( -2\sqrt{7} \) (atenție la semn):
\( -2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28} \)
\( 4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32} \)
Pentru \( -2\sqrt{7} \) (atenție la semn):
\( -2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28} \)
Medie: Scoateți factorii de sub radical, scriind rezultatul sub forma \( a\sqrt{b} \), pentru numărul \( \sqrt{108} \).
Descompunem numărul 108:
\( 108 = 36 \cdot 3 \)
Știm că 36 este un pătrat perfect (\( 6^2 \)).
\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \).
\( 108 = 36 \cdot 3 \)
Știm că 36 este un pătrat perfect (\( 6^2 \)).
\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \).
Dificilă: Stabiliți care număr este mai mare: \( 3\sqrt{5} \) sau \( 4\sqrt{3} \). Justificați răspunsul prin calcul.
Pentru a compara doi radicali de forma \( a\sqrt{b} \), cea mai simplă metodă este să introducem factorii sub radical:
1. Pentru primul număr: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
2. Pentru al doilea număr: \( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
Deoarece \( \sqrt{45} < \sqrt{48} \), rezultă că \( 3\sqrt{5} < 4\sqrt{3} \). Deci numărul mai mare este \( 4\sqrt{3} \).
1. Pentru primul număr: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
2. Pentru al doilea număr: \( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
Deoarece \( \sqrt{45} < \sqrt{48} \), rezultă că \( 3\sqrt{5} < 4\sqrt{3} \). Deci numărul mai mare este \( 4\sqrt{3} \).
