Cele mai importante aspecte ale lecției
- Rădăcina pătrată: Operația inversă ridicării la pătrat. \( \sqrt{x^2} = x \). Definită doar pentru numere pozitive.
- Verificare rapidă: Niciun pătrat perfect nu are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8.
- Operații: Radicalul produsului/câtului se poate separa: \( \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \) și \( \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} \).
- Transformări:
- Scoaterea factorilor: \( \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \)
- Introducerea factorilor: \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) - Clasificare: Radicalii din pătrate perfecte sunt numere raționale (\( \mathbb{Q} \)), restul sunt numere iraționale (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) și pot fi doar aproximate.
Dacă un număr natural \( p \) este pătratul unui număr natural \( x \) (\( p = x^2 \)), atunci \( p \) se numește pătrat perfect, iar \( x \) este rădăcina pătrată a lui \( p \).
Scriem: \( x = \sqrt{p} \) și citim „x este egal cu radical din p”.
\[ p = x^2 \Leftrightarrow x = \sqrt{p} \]
\[ \sqrt{x^2} = x \] (oricare ar fi \( x \) număr rațional pozitiv)
Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu se definește (dacă \( p < 0 \), \( \sqrt{p} \) nu are sens).
Deoarece \( 1764 = 42^2 \), numărul 1764 este pătrat perfect, iar \( \sqrt{1764} = 42 \).
Un număr natural a cărui ultimă cifră este 2, 3, 7 sau 8 NU poate fi pătrat perfect.
Analizând ultima cifră a unui număr \( n \) și a pătratului său \( n^2 \), observăm valorile posibile:
| Ultima cifră a lui \( n \) ( \( u(n) \) ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ultima cifră a lui \( n^2 \) ( \( u(n^2) \) ) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Numărul 1762 nu este pătrat perfect deoarece se termină în cifra 2.
Arătați că numărul 543 nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a numărului 543 este 3. Conform regulii, niciun pătrat perfect nu se termină în cifra 3, deci 543 nu este pătrat perfect.
Radicalul unui produs: Este egal cu produsul radicalilor.
\[ \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \quad (p, q \geq 0) \]
Radicalul unui cât: Este egal cu câtul radicalilor.
\[ \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} \quad (p \geq 0, q > 0) \]
\( \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} \)
Scoaterea factorilor: \( \sqrt{p^2 \cdot q} = p\sqrt{q} \) (pentru \( p, q \geq 0 \)). Se extrage radicalul din pătratul perfect și se înmulțește cu radicalul numărului rămas.
Pentru a scoate factorii de sub un radical mare (ex. \( \sqrt{48} \)), se descompune numărul în factori primi, se grupează factorii la puterea a doua și se aplică formula:
\( 48 = 2^4 \cdot 3 = (2^2)^2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 \). Deci, \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).
Introducerea factorilor: \( p\sqrt{q} = \sqrt{p^2 \cdot q} \) (pentru \( p, q \geq 0 \)). Factorul din fața radicalului se ridică la pătrat și se înmulțește cu numărul de sub radical.
Introducerea factorului: \( 2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72} \).
Scoateți factorii de sub radical pentru \( \sqrt{675} \) și introduceți factorul sub radical pentru \( 5\sqrt{3} \).
Scoatere: Descompunem \( 675 = 225 \cdot 3 = 15^2 \cdot 3 \). Deci, \( \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \).
Introducere: \( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \).
Introducere: \( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \).
Când un număr nu este pătrat perfect, rădăcina sa pătrată poate fi încadrată între două numere întregi consecutive, realizându-se astfel aproximarea prin lipsă și prin adaos.
Pentru \( \sqrt{40} \):
Știm că \( 36 < 40 < 49 \), adică \( 6^2 < 40 < 7^2 \).
Rezultă: \( 6 < \sqrt{40} < 7 \).
\( \sqrt{40} \approx 6 \) (aproximare prin lipsă la unități)
\( \sqrt{40} \approx 7 \) (aproximare prin adaos la unități)
Știm că \( 36 < 40 < 49 \), adică \( 6^2 < 40 < 7^2 \).
Rezultă: \( 6 < \sqrt{40} < 7 \).
\( \sqrt{40} \approx 6 \) (aproximare prin lipsă la unități)
\( \sqrt{40} \approx 7 \) (aproximare prin adaos la unități)
Numere raționale (\( \mathbb{Q} \)): Radicalii din numere care sunt pătrate perfecte (rezultatul este un număr întreg sau fracție). Ex: \( \sqrt{25} = 5 \in \mathbb{Q} \), \( \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \in \mathbb{Q} \).
Numere iraționale (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)): Radicalii din numere care NU sunt pătrate perfecte. Nu pot fi scrise ca fracții ordinare. Ex: \( \sqrt{7} \), \( 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{12} \).
Probleme propuse
Ușoară: Calculați rădăcina pătrată pentru numerele raționale: \( \sqrt{81} \) și \( \sqrt{\frac{25}{64}} \).
\( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \)
\( \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8} \)
\( \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8} \)
Medie: Se dă numărul \( \sqrt{250} \).
a) Scoateți factorii de sub radical.
b) Aproximați valoarea radicalului prin lipsă și prin adaos la nivel de unități.
a) Scoateți factorii de sub radical.
b) Aproximați valoarea radicalului prin lipsă și prin adaos la nivel de unități.
a) Descompunem 250: \( 250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot 10 \). Deci, \( \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \).
b) Căutăm pătratele perfecte vecine cu 250: \( 15^2 = 225 \) și \( 16^2 = 256 \).
Deoarece \( 225 < 250 < 256 \), obținem \( 15 < \sqrt{250} < 16 \).
Aproximarea prin lipsă este 15, iar prin adaos este 16.
b) Căutăm pătratele perfecte vecine cu 250: \( 15^2 = 225 \) și \( 16^2 = 256 \).
Deoarece \( 225 < 250 < 256 \), obținem \( 15 < \sqrt{250} < 16 \).
Aproximarea prin lipsă este 15, iar prin adaos este 16.
Dificilă: Se consideră mulțimea \( M = \{ \sqrt{16}; -\sqrt{2}; \sqrt{45}; \sqrt{\frac{1}{4}}; -3\sqrt{5} \} \).
a) Determinați elementele mulțimii \( M \cap \mathbb{Q} \) (numerele raționale).
b) Introduceți factorul sub radical pentru numărul \( -3\sqrt{5} \).
a) Determinați elementele mulțimii \( M \cap \mathbb{Q} \) (numerele raționale).
b) Introduceți factorul sub radical pentru numărul \( -3\sqrt{5} \).
a) Calculăm radicalii acolo unde este posibil:
\( \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q} \)
\( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \)
Celelalte numere nu provin din pătrate perfecte, deci sunt iraționale.
\( M \cap \mathbb{Q} = \{ \sqrt{16}; \sqrt{\frac{1}{4}} \} \)
b) \( -3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45} \).
\( \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q} \)
\( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \)
Celelalte numere nu provin din pătrate perfecte, deci sunt iraționale.
\( M \cap \mathbb{Q} = \{ \sqrt{16}; \sqrt{\frac{1}{4}} \} \)
b) \( -3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45} \).
