Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezolvarea triunghiului dreptunghic: Reprezintă determinarea tuturor laturilor și unghiurilor acestuia, cunoscând doar două elemente (dintre care obligatoriu o latură). Ne folosim de Teorema lui Pitagora și de funcțiile trigonometrice (\(\sin, \cos, \text{tg}, \text{ctg}\)).
Aria triunghiului cu sinus: Poate fi calculată rapid dacă se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, folosind formula: \( \mathcal{A} = \frac{l_1 \cdot l_2 \cdot \sin(\text{unghi})}{2} \).
Aria triunghiului cu sinus: Poate fi calculată rapid dacă se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, folosind formula: \( \mathcal{A} = \frac{l_1 \cdot l_2 \cdot \sin(\text{unghi})}{2} \).
Prin rezolvarea triunghiului dreptunghic se înțelege demersul logic prin care se calculează toate elementele necunoscute ale triunghiului (laturi și unghiuri ascuțite), plecând de la elementele cunoscute.
Pentru a putea rezolva un triunghi dreptunghic, este necesar și suficient să se cunoască două elemente, dintre care cel puțin o latură (de exemplu: două catete, o catetă și ipotenuza, o latură și un unghi ascuțit).
Pentru aflarea elementelor necunoscute se utilizează:
- Teorema lui Pitagora: \( \text{ipotenuză}^2 = \text{catetă}_1^2 + \text{catetă}_2^2 \)
- Suma măsurilor unghiurilor ascuțite: \( 90^\circ \)
- Funcțiile trigonometrice (\(\sin, \cos, \text{tg}, \text{ctg}\)) în triunghiul dreptunghic
Rezolvați triunghiul dreptunghic \( ABC \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)), știind că ipotenuza \( BC = 10 \text{ cm} \), iar unghiul \( C = 30^\circ \).
Răspuns:
1. Aflăm celălalt unghi ascuțit: \( \sphericalangle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
2. Aflăm cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \): Din \( \sin C = \frac{AB}{BC} \implies \sin 30^\circ = \frac{AB}{10} \implies \frac{1}{2} = \frac{AB}{10} \implies AB = 5 \text{ cm} \).
3. Aflăm cealaltă catetă folosind teorema lui Pitagora sau funcția cosinus: \( \cos C = \frac{AC}{BC} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{10} \implies AC = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
Elementele necunoscute au fost: \( \sphericalangle B = 60^\circ \), \( AB = 5 \text{ cm} \), \( AC = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
1. Aflăm celălalt unghi ascuțit: \( \sphericalangle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
2. Aflăm cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \): Din \( \sin C = \frac{AB}{BC} \implies \sin 30^\circ = \frac{AB}{10} \implies \frac{1}{2} = \frac{AB}{10} \implies AB = 5 \text{ cm} \).
3. Aflăm cealaltă catetă folosind teorema lui Pitagora sau funcția cosinus: \( \cos C = \frac{AC}{BC} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{10} \implies AC = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
Elementele necunoscute au fost: \( \sphericalangle B = 60^\circ \), \( AB = 5 \text{ cm} \), \( AC = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
Aria unui triunghi este egală cu semiprodusul lungimilor a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului determinat de acestea.
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \]
unde \( b \) și \( c \) sunt lungimile a două laturi, iar \( A \) este măsura unghiului dintre ele (\( 0^\circ < A < 90^\circ \)).
Un triunghi \( ABC \) are laturile \( AB = 2 \text{ cm} \), \( AC = 6 \text{ cm} \) și \( \sphericalangle BAC = 30^\circ \). Aria se calculează astfel:
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ}{2} = \frac{12 \cdot 0,5}{2} = 3 \text{ cm}^2 \]
Calculați aria unui triunghi \( MNP \), știind că \( MN = 8 \text{ cm} \), \( MP = 5\sqrt{2} \text{ cm} \) și \( \sphericalangle M = 45^\circ \).
Răspuns: Aplicăm formula ariei folosind sinusul:
\[ \mathcal{A}_{MNP} = \frac{MN \cdot MP \cdot \sin M}{2} \]
\[ \mathcal{A}_{MNP} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{2} \]
Știm că \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Înlocuind:
\[ \mathcal{A}_{MNP} = \frac{40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{20 \cdot 2}{2} = 20 \text{ cm}^2 \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) cu \( \sphericalangle A = 90^\circ \), se cunosc catetele \( AB = 6 \text{ cm} \) și \( AC = 8 \text{ cm} \). Determinați lungimea ipotenuzei \( BC \) și valoarea lui \( \sin B \).
1. Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
Deci, \( BC = 10 \text{ cm} \).
2. Calculăm \( \sin B \): \( \sin B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8 \).
Răspuns: \( BC = 10 \text{ cm} \), \( \sin B = 0,8 \).
2. Calculăm \( \sin B \): \( \sin B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8 \).
Răspuns: \( BC = 10 \text{ cm} \), \( \sin B = 0,8 \).
Medie: Determinați aria unui triunghi \( DEF \), dacă \( DE = 12 \text{ cm} \), \( DF = 10 \text{ cm} \) și \( \sphericalangle D = 60^\circ \).
Folosim formula ariei cu sinus:
\[ \mathcal{A}_{DEF} = \frac{DE \cdot DF \cdot \sin D}{2} \]
Știm că \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\[ \mathcal{A}_{DEF} = \frac{12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{60\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Răspuns: \( 30\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Răspuns: \( 30\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Se consideră triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( \sphericalangle A = 90^\circ \), \( AD \perp BC \) (\( D \in BC \)). Se cunoaște că \( CD = 3 \text{ cm} \) și \( \sphericalangle C = 30^\circ \). Calculați aria triunghiului \( ABC \).
1. În triunghiul dreptunghic \( ADC \) (\( \sphericalangle D = 90^\circ \)):
\( \cos C = \frac{CD}{AC} \implies \cos 30^\circ = \frac{3}{AC} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{AC} \implies AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \).
2. În triunghiul dreptunghic mare \( ABC \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)): Cunoaștem cateta \( AC = 2\sqrt{3} \text{ cm} \) și \( \sphericalangle C = 30^\circ \). Putem folosi funcția tangentă pentru a afla cateta \( AB \): \( \text{tg } C = \frac{AB}{AC} \implies \text{tg } 30^\circ = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \implies \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \implies AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ cm} \).
3. Aria triunghiului dreptunghic \( ABC \): \( \mathcal{A} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Metodă alternativă pentru arie: \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \) (deoarece \( \sin 90^\circ = 1 \)).
Răspuns: Aria este \( 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
2. În triunghiul dreptunghic mare \( ABC \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)): Cunoaștem cateta \( AC = 2\sqrt{3} \text{ cm} \) și \( \sphericalangle C = 30^\circ \). Putem folosi funcția tangentă pentru a afla cateta \( AB \): \( \text{tg } C = \frac{AB}{AC} \implies \text{tg } 30^\circ = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \implies \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \implies AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ cm} \).
3. Aria triunghiului dreptunghic \( ABC \): \( \mathcal{A} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Metodă alternativă pentru arie: \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \) (deoarece \( \sin 90^\circ = 1 \)).
Răspuns: Aria este \( 2\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
