Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte esențiale din trigonometrie:
\( \bullet \) Sinus (\( \sin \)): cateta opusă / ipotenuză.
\( \bullet \) Cosinus (\( \cos \)): cateta alăturată / ipotenuză.
\( \bullet \) Tangenta (\( \text{tg} \)): cateta opusă / cateta alăturată (\( \frac{\sin}{\cos} \)).
\( \bullet \) Cotangenta (\( \text{ctg} \)): cateta alăturată / cateta opusă (\( \frac{\cos}{\sin} \)).
\( \bullet \) Formula fundamentală: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
\( \bullet \) Unghiuri complementare: Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său (ex: \( \sin 30^\circ = \cos 60^\circ \)).
\( \bullet \) Sinus (\( \sin \)): cateta opusă / ipotenuză.
\( \bullet \) Cosinus (\( \cos \)): cateta alăturată / ipotenuză.
\( \bullet \) Tangenta (\( \text{tg} \)): cateta opusă / cateta alăturată (\( \frac{\sin}{\cos} \)).
\( \bullet \) Cotangenta (\( \text{ctg} \)): cateta alăturată / cateta opusă (\( \frac{\cos}{\sin} \)).
\( \bullet \) Formula fundamentală: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
\( \bullet \) Unghiuri complementare: Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său (ex: \( \sin 30^\circ = \cos 60^\circ \)).
Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Într-un triunghi dreptunghic, raportul lungimilor a două laturi determină valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile ascuțite.
Fie un unghi ascuțit cu măsura \( x \). Se definesc următoarele rapoarte:
\( \sin x = \frac{\text{lungimea catetei opuse}}{\text{lungimea ipotenuzei}} \)
\( \cos x = \frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea ipotenuzei}} \)
\( \text{tg } x = \frac{\text{lungimea catetei opuse}}{\text{lungimea catetei alăturate}} \)
\( \text{ctg } x = \frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea catetei opuse}} \)
\( \sin x = \frac{\text{lungimea catetei opuse}}{\text{lungimea ipotenuzei}} \)
\( \cos x = \frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea ipotenuzei}} \)
\( \text{tg } x = \frac{\text{lungimea catetei opuse}}{\text{lungimea catetei alăturate}} \)
\( \text{ctg } x = \frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea catetei opuse}} \)
Se obișnuiește notarea laturilor opuse unghiurilor \( A, B, C \) cu literele mici corespunzătoare: \( a, b, c \). Dacă unghiul drept este \( A \), atunci ipotenuza este \( a \), iar catetele sunt \( b \) și \( c \).
Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului \( x \) are lungimea de 3 cm, cateta alăturată are 4 cm, iar ipotenuza are 5 cm. Calculați \( \sin x \) și \( \text{tg } x \).
Aplicăm formulele:
\( \sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{3}{5} \)
\( \text{tg } x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \frac{3}{4} \)
\( \sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{3}{5} \)
\( \text{tg } x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \frac{3}{4} \)
Formula fundamentală a trigonometriei: Pentru orice unghi ascuțit \( x \), suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu 1.
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Tangenta și cotangenta pot fi exprimate în funcție de sinus și cosinus, sau una în funcție de cealaltă:
\( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
\( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 \implies \text{tg } x = \frac{1}{\text{ctg } x} \) și \( \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} \)
\( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 \implies \text{tg } x = \frac{1}{\text{ctg } x} \) și \( \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} \)
Dacă două unghiuri sunt complementare (suma lor este \( 90^\circ \)), funcțiile trigonometrice ale unuia sunt egale cu "cofuncțiile" celuilalt:
\( \sin x = \cos(90^\circ - x) \)
\( \cos x = \sin(90^\circ - x) \)
\( \text{tg } x = \text{ctg}(90^\circ - x) \)
\( \text{ctg } x = \text{tg}(90^\circ - x) \)
\( \sin x = \cos(90^\circ - x) \)
\( \cos x = \sin(90^\circ - x) \)
\( \text{tg } x = \text{ctg}(90^\circ - x) \)
\( \text{ctg } x = \text{tg}(90^\circ - x) \)
Știind că \( \sin x = 0,6 \) și \( \cos x = 0,8 \), verificați formula fundamentală a trigonometriei și calculați \( \cos(90^\circ - x) \).
1. Verificăm formula: \( \sin^2 x + \cos^2 x = (0,6)^2 + (0,8)^2 = 0,36 + 0,64 = 1 \). Egalitatea se verifică.
2. Din relațiile unghiurilor complementare: \( \cos(90^\circ - x) = \sin x = 0,6 \).
2. Din relațiile unghiurilor complementare: \( \cos(90^\circ - x) = \sin x = 0,6 \).
Pentru unghiurile de \( 30^\circ, 45^\circ \) și \( 60^\circ \), valorile funcțiilor trigonometrice sunt frecvent utilizate în probleme și trebuie reținute:
| \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | |
|---|---|---|---|
| \( \sin \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| \( \cos \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) |
| \( \text{tg} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) |
| \( \text{ctg} \) | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
Calculați valoarea expresiei: \( E = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \).
Conform tabelului: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) și \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
\( E = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
\( E = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
Probleme de practică
Ușoară: Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) cu unghiul drept în \( A \), se știe că \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm și \( BC = 10 \) cm. Calculați \( \sin B \) și \( \cos B \).
Pentru unghiul \( B \), cateta opusă este \( AC \), cateta alăturată este \( AB \), iar ipotenuza este \( BC \).
\( \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8 \).
\( \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
\( \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8 \).
\( \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
Medie: Știind că unghiul \( x \) este ascuțit și \( \text{tg } x = 1 \), calculați valoarea expresiei \( \sin^2 x + \text{ctg } x \).
Dacă \( \text{tg } x = 1 \), știm din tabelul de valori uzuale că \( x = 45^\circ \).
Pentru \( x = 45^\circ \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) și \( \text{ctg } 45^\circ = 1 \).
Calculăm expresia:
\( \sin^2 45^\circ + \text{ctg } 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).
Pentru \( x = 45^\circ \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) și \( \text{ctg } 45^\circ = 1 \).
Calculăm expresia:
\( \sin^2 45^\circ + \text{ctg } 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).
Dificilă: Demonstrați că pentru orice unghi ascuțit \( x \), este valabilă egalitatea: \( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \).
Aducem la același numitor în membrul stâng al egalității, amplificând prima fracție cu \( \sin x \) și a doua fracție cu \( \cos x \):
\[ \frac{\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} \] Conform formulei fundamentale a trigonometriei, știm că \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Înlocuind la numărător, obținem:
\[ \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \] Egalitatea este demonstrată.
\[ \frac{\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} \] Conform formulei fundamentale a trigonometriei, știm că \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Înlocuind la numărător, obținem:
\[ \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \] Egalitatea este demonstrată.
