Cele mai importante aspecte ale lecției
Adunarea și scăderea numerelor reale: Scăderea este adunarea cu opusul: \(a - b = a + (-b)\).
Calculul cu radicali: Adunăm sau scădem coeficienții doar dacă au același radical: \(p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p+q)\sqrt{n}\). Înainte de calcul, scoateți întotdeauna factorii de sub radical.
Proprietăți: Adunarea este comutativă, asociativă, are pe 0 ca element neutru, iar suma oricărui număr cu opusul său este 0. Inegalitățile se pot aduna membru cu membru.
Calculul cu radicali: Adunăm sau scădem coeficienții doar dacă au același radical: \(p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p+q)\sqrt{n}\). Înainte de calcul, scoateți întotdeauna factorii de sub radical.
Proprietăți: Adunarea este comutativă, asociativă, are pe 0 ca element neutru, iar suma oricărui număr cu opusul său este 0. Inegalitățile se pot aduna membru cu membru.
Suma a două numere reale, \(a\) și \(b\), este un număr real, notat \(a + b\). Operația se numește adunare.
Diferența dintre numărul real \(a\) și numărul real \(b\) se notează \(a - b\) și se definește ca suma lui \(a\) cu opusul lui \(b\).
\[ a - b = a + (-b) \]
Când adunăm sau scădem numere iraționale (care nu se pot calcula exact), în practică se pot folosi aproximări ale acestora prin fracții zecimale finite (de exemplu, rotunjind la zecimi, sutimi etc.).
Adunarea numerelor de forma \(a\sqrt{n}\) (unde \(n \ge 0\)) se efectuează adunând coeficienții și păstrând radicalul comun.
\[ p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p + q)\sqrt{n} \]
\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 + 2 - 4)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
Calculați: \( 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
Se dă factor comun \(\sqrt{2}\):
\( (4 - 5 + 3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
\( (4 - 5 + 3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
Adunarea numerelor reale păstrează aceleași proprietăți ca adunarea numerelor raționale:
Comutativitatea: Ordinea termenilor nu contează.
\( a + b = b + a \)
\( a + b = b + a \)
Asociativitatea: Termenii pot fi grupați în moduri diferite.
\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
Existența elementului neutru: Numărul 0 nu modifică suma.
\( a + 0 = 0 + a = a \)
\( a + 0 = 0 + a = a \)
Existența elementului opus: Orice număr \(a\) are un opus \(-a\), iar suma lor este 0.
\( a + (-a) = (-a) + a = 0 \)
\( a + (-a) = (-a) + a = 0 \)
Calcul folosind proprietățile:
\( (-\sqrt{7} + 5) + \sqrt{7} \)
\( = 5 + (-\sqrt{7} + \sqrt{7}) \) (am folosit comutativitatea și asociativitatea)
\( = 5 + 0 \) (suma elementelor opuse este 0)
\( = 5 \)
\( (-\sqrt{7} + 5) + \sqrt{7} \)
\( = 5 + (-\sqrt{7} + \sqrt{7}) \) (am folosit comutativitatea și asociativitatea)
\( = 5 + 0 \) (suma elementelor opuse este 0)
\( = 5 \)
Dacă adunăm sau scădem același număr real în ambii membri ai unei egalități, egalitatea se păstrează:
Dacă \( a = b \), atunci \( a \pm c = b \pm c \).
Dacă \( a = b \), atunci \( a \pm c = b \pm c \).
Egalitățile de același sens se pot aduna membru cu membru:
Dacă \( a < b \) și \( c < d \), atunci \( a + c < b + d \).
(Această proprietate se menține și pentru relațiile \(\le, >, \ge\)).
Dacă \( a < b \) și \( c < d \), atunci \( a + c < b + d \).
(Această proprietate se menține și pentru relațiile \(\le, >, \ge\)).
Exerciții
Ușoară: Efectuați calculul: \( 3\sqrt{7} - (2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + \sqrt{7}) \)
Calculăm mai întâi paranteza:
\( 2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + \sqrt{7} = (2 - 5 + 1)\sqrt{7} = -2\sqrt{7} \)
Acum efectuăm scăderea:
\( 3\sqrt{7} - (-2\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \)
\( 2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + \sqrt{7} = (2 - 5 + 1)\sqrt{7} = -2\sqrt{7} \)
Acum efectuăm scăderea:
\( 3\sqrt{7} - (-2\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \)
Medie: Calculați, după ce scoateți factorii de sub radical: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75} \)
Descompunem numerele de sub radical:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \implies \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
\( 27 = 3^2 \cdot 3 \implies \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)
\( 75 = 5^2 \cdot 3 \implies \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim în expresie:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \implies \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
\( 27 = 3^2 \cdot 3 \implies \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)
\( 75 = 5^2 \cdot 3 \implies \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim în expresie:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0 \)
Dificilă: Stabiliți dacă afirmația următoare este adevărată: \( \sqrt{125} - 5\sqrt{45} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{20} = -10\sqrt{5} \)
Scoatem factorii de sub fiecare radical:
\( \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \)
\( 5\sqrt{45} = 5\sqrt{9 \cdot 5} = 5 \cdot 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \)
Reconstruim calculul:
\( 5\sqrt{5} - 15\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} \)
\( = (5 - 15 + 4 - 4)\sqrt{5} = -10\sqrt{5} \)
Răspuns: Afirmația este adevărată.
\( \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \)
\( 5\sqrt{45} = 5\sqrt{9 \cdot 5} = 5 \cdot 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \)
Reconstruim calculul:
\( 5\sqrt{5} - 15\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} \)
\( = (5 - 15 + 4 - 4)\sqrt{5} = -10\sqrt{5} \)
Răspuns: Afirmația este adevărată.
