Cele mai importante aspecte ale lecției
Planul înzestrat cu un sistem de axe ortogonale \( xOy \) permite localizarea precisă a oricărui punct.
- \( (x, y) \): Reprezintă coordonatele unice ale unui punct. \( x \) = abscisa (axa orizontală), \( y \) = ordonata (axa verticală).
- Axa \( Ox \): Toate punctele au forma \( P(x, 0) \).
- Axa \( Oy \): Toate punctele au forma \( P(0, y) \).
- Asociere biunivocă: Fiecărui punct din plan îi corespunde o pereche ordonată din \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) și invers.
Un sistem de axe ortogonale este format din două drepte perpendiculare pe care s-a fixat o origine comună, un sens pozitiv și o unitate de măsură.
Axa orizontală (\( Ox \)) se numește axa absciselor.
Axa verticală (\( Oy \)) se numește axa ordonatelor.
Punctul de intersecție (\( O \)) al celor două axe se numește originea sistemului.
Într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \), orice punct \( P \) din plan poate fi reprezentat printr-o pereche ordonată de numere reale.
Se notează \( P(x, y) \), unde \( x \) și \( y \) sunt coordonatele punctului.
Abscisa (\( x \)): Primul număr din paranteză. Reprezintă proiecția ortogonală a punctului pe axa \( Ox \).
Ordonata (\( y \)): Al doilea număr din paranteză. Reprezintă proiecția ortogonală a punctului pe axa \( Oy \).
Ordinea numerelor este strictă: prima valoare este întotdeauna pe axa orizontală (\( Ox \)), iar a doua pe axa verticală (\( Oy \)). Perechea \( (x, y) \) este diferită de perechea \( (y, x) \).
Pentru punctul \( A(-1, 3) \):
- Abscisa sa este \( -1 \) (se caută pe axa \( Ox \)).
- Ordonata sa este \( 3 \) (se caută pe axa \( Oy \)).
Dacă un punct se află exact pe una dintre axe, una dintre coordonatele sale va fi zero.
Orice punct situat pe axa absciselor (\( Ox \)) are ordonata zero: \( P(x, 0) \).
Orice punct situat pe axa ordonatelor (\( Oy \)) are abscisa zero: \( P(0, y) \).
Originea sistemului de axe are ambele coordonate egale cu zero: \( O(0, 0) \).
Aflați pe ce axă se află punctul \( M(0, -4) \).
Deoarece prima coordonată (abscisa \( x \)) este \( 0 \), punctul se află pe axa verticală, adică axa ordonatelor (\( Oy \)).
Deoarece orice pereche ordonată de numere reale \( (x, y) \) este un element al produsului cartezian \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), rezultă o asociere perfectă între plan și acest produs cartezian.
- Orice element al produsului cartezian \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) poate fi reprezentat în plan printr-un singur punct.
- Oricărui punct \( P \) din plan îi corespunde o singură pereche \( (x, y) \) din produsul cartezian \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
Mulțimea tuturor punctelor planului se notează de obicei cu litera grecească \( \pi \) (pi). Admitem că planul \( \pi \) poate fi identificat complet cu \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
Exerciții de antrenament
Ușoară: Se consideră punctul \( A(4, -5) \). Precizați care este abscisa și care este ordonata acestui punct.
Într-o pereche ordonată \( (x, y) \), primul termen este abscisa, iar al doilea este ordonata.
Răspuns: Abscisa este \( 4 \), iar ordonata este \( -5 \).
Răspuns: Abscisa este \( 4 \), iar ordonata este \( -5 \).
Medie: Scrieți coordonatele unui punct \( B \) care aparține axei absciselor (\( Ox \)) și este situat la o distanță de 3 unități în stânga originii \( O \).
1. Deoarece punctul aparține axei \( Ox \), ordonata sa este obligatoriu \( 0 \). Deci, \( B(x, 0) \).
2. Deoarece este situat la stânga originii cu 3 unități, abscisa sa este valoarea negativă \( -3 \).
Răspuns: \( B(-3, 0) \).
2. Deoarece este situat la stânga originii cu 3 unități, abscisa sa este valoarea negativă \( -3 \).
Răspuns: \( B(-3, 0) \).
Dificilă: Se dau punctele \( C(2, 3) \) și \( D(2, -3) \). Ce observați în legătură cu poziția acestor două puncte față de axa \( Ox \)? Ce fel de numere sunt ordonatele lor?
1. Ambele puncte au aceeași abscisă (\( x = 2 \)), ceea ce înseamnă că se află pe aceeași dreaptă verticală.
2. Ordonateale lor sunt \( 3 \) și respectiv \( -3 \). Acestea sunt numere opuse.
3. Datorită acestui fapt, punctul \( C \), aflat la 3 unități deasupra axei \( Ox \), și punctul \( D \), aflat la 3 unități sub axa \( Ox \), sunt simetrice față de axa absciselor (\( Ox \)).
2. Ordonateale lor sunt \( 3 \) și respectiv \( -3 \). Acestea sunt numere opuse.
3. Datorită acestui fapt, punctul \( C \), aflat la 3 unități deasupra axei \( Ox \), și punctul \( D \), aflat la 3 unități sub axa \( Ox \), sunt simetrice față de axa absciselor (\( Ox \)).
