Cele mai importante aspecte ale lecției
Sisteme de două ecuații liniare: Constau în găsirea unei perechi \((x, y)\) care face ambele ecuații adevărate simultan. Pot avea o soluție unică, o infinitate de soluții sau nicio soluție.
Metoda substituției: Exprimăm o variabilă dintr-o ecuație și o introducem în cealaltă. Este utilă mai ales când una dintre variabile are coeficientul \(1\) sau \(-1\).
Metoda reducerii: Înmulțim ecuațiile astfel încât coeficienții unei variabile să devină opuși (ex. \(3x\) și \(-3x\)), apoi le adunăm pentru a elimina acea variabilă.
Metoda substituției: Exprimăm o variabilă dintr-o ecuație și o introducem în cealaltă. Este utilă mai ales când una dintre variabile are coeficientul \(1\) sau \(-1\).
Metoda reducerii: Înmulțim ecuațiile astfel încât coeficienții unei variabile să devină opuși (ex. \(3x\) și \(-3x\)), apoi le adunăm pentru a elimina acea variabilă.
Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute presupune găsirea valorilor pentru două variabile (de obicei \(x\) și \(y\)) care verifică simultan ambele ecuații.
Forma generală a unui sistem este:
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]
unde \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) sunt numere reale date.
Notând cu \(S\) mulțimea soluțiilor sistemului, pot exista trei situații:
- \(S\) are un singur element (o pereche ordonată \((x, y)\)) \(\Rightarrow\) sistemul are soluție unică.
- \(S\) este o mulțime infinită \(\Rightarrow\) sistemul are o infinitate de soluții.
- \(S\) nu are niciun element (\(S = \varnothing\)) \(\Rightarrow\) sistemul nu are soluție.
Metoda substituției constă în exprimarea (scoaterea) unei necunoscute dintr-o ecuație și înlocuirea (substituirea) ei în cealaltă ecuație.
Dintr-o ecuație a sistemului se scoate o necunoscută, în funcție de cealaltă.
Se înlocuiește în cealaltă ecuație a sistemului și se obține o ecuație cu o singură necunoscută, care se rezolvă.
Având valoarea primei necunoscute, se calculează și valoarea celeilalte.
Se finalizează, precizându-se soluția sistemului sub formă de pereche ordonată \((x, y)\).
Rezolvăm sistemul: \(\begin{cases} x = 2y \\ x + y = 9 \end{cases}\)
1. Necunoscuta \(x\) este deja exprimată din prima ecuație: \(x = 2y\).
2. Înlocuim în a doua ecuație: \(2y + y = 9 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3\).
3. Ne întoarcem la prima ecuație: \(x = 2 \cdot 3 \Rightarrow x = 6\).
4. Soluția este \(S = \{(6, 3)\}\).
1. Necunoscuta \(x\) este deja exprimată din prima ecuație: \(x = 2y\).
2. Înlocuim în a doua ecuație: \(2y + y = 9 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3\).
3. Ne întoarcem la prima ecuație: \(x = 2 \cdot 3 \Rightarrow x = 6\).
4. Soluția este \(S = \{(6, 3)\}\).
Metoda reducerii constă în înmulțirea convenabilă a ecuațiilor, astfel încât prin adunarea sau scăderea lor membru cu membru, una dintre necunoscute să se elimine (să se reducă).
Se înmulțește prima ecuație cu opusul coeficientului lui \(x\) (sau \(y\)) din a doua ecuație, iar a doua ecuație se înmulțește cu coeficientul lui \(x\) (sau \(y\)) din prima ecuație (pentru a obține coeficienți opuși).
Se adună membru cu membru ecuațiile noului sistem, rezultând o ecuație cu o singură necunoscută.
Se rezolvă ecuația obținută pentru a afla prima necunoscută.
Se repetă procedeul pentru cealaltă necunoscută sau se înlocuiește valoarea aflată într-una dintre ecuațiile inițiale.
Se finalizează, precizându-se soluția sistemului \((x, y)\).
Rezolvăm sistemul: \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 3 \end{cases}\)
1. Coeficienții lui \(y\) sunt deja opuși (\(+1\) și \(-1\)). Nu mai este nevoie de înmulțire.
2. Adunăm ecuațiile membru cu membru: \((2x + 3x) + (y - y) = 7 + 3 \Rightarrow 5x = 10\).
3. Rezolvăm ecuația: \(x = 2\).
4. Înlocuim \(x=2\) în prima ecuație: \(2(2) + y = 7 \Rightarrow 4 + y = 7 \Rightarrow y = 3\).
5. Soluția este \(S = \{(2, 3)\}\).
1. Coeficienții lui \(y\) sunt deja opuși (\(+1\) și \(-1\)). Nu mai este nevoie de înmulțire.
2. Adunăm ecuațiile membru cu membru: \((2x + 3x) + (y - y) = 7 + 3 \Rightarrow 5x = 10\).
3. Rezolvăm ecuația: \(x = 2\).
4. Înlocuim \(x=2\) în prima ecuație: \(2(2) + y = 7 \Rightarrow 4 + y = 7 \Rightarrow y = 3\).
5. Soluția este \(S = \{(2, 3)\}\).
Probleme de exersare
Ușoară: Rezolvați sistemul folosind metoda substituției:
\[ \begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases} \]
Din prima ecuație cunoaștem deja \(y\). Îl substituim în a doua:
\[ 2x + (x + 2) = 8 \]
\[ 3x + 2 = 8 \]
\[ 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \]
Acum calculăm \(y\):
\[ y = 2 + 2 \Rightarrow y = 4 \]
Soluția: \(S = \{(2, 4)\}\).
Medie: Rezolvați sistemul folosind metoda reducerii:
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Observăm că termenii ce conțin pe \(y\) au deja coeficienți opuși (\(+2\) și \(-2\)).
Adunăm ecuațiile membru cu membru:
\[ (3x + 5x) + (2y - 2y) = 12 + 4 \]
\[ 8x = 16 \Rightarrow x = 2 \]
Înlocuim \(x = 2\) în prima ecuație:
\[ 3(2) + 2y = 12 \]
\[ 6 + 2y = 12 \]
\[ 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \]
Soluția: \(S = \{(2, 3)\}\).
Dificilă: Rezolvați sistemul (prin orice metodă) și stabiliți natura mulțimii soluțiilor \(S\):
\[ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ -4x + 2y = -8 \end{cases} \]
Folosim metoda reducerii. Înmulțim prima ecuație cu \(2\):
\[ \begin{cases} 4x - 2y = 8 \\ -4x + 2y = -8 \end{cases} \]
Adunăm membru cu membru:
\[ (4x - 4x) + (-2y + 2y) = 8 - 8 \]
\[ 0 = 0 \]
Egalitatea \(0 = 0\) este adevărată independent de valorile lui \(x\) și \(y\). Aceasta înseamnă că cele două ecuații sunt echivalente (reprezintă aceeași condiție).
Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții (mulțimea \(S\) este infinită).
