Lecția III.7 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
Ecuația 1: \( \sqrt{10}x = 5\sqrt{2} \implies x = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies S_1 = \{\sqrt{5}\} \)
Ecuația 2: \( 3(2x-7) = 6x-21 \implies 6x-21 = 6x-21 \implies 0=0 \implies S_2 = \mathbb{R} \)
\( S_1 \neq S_2 \implies \) Ecuațiile nu sunt echivalente.
b)
Ecuația 1: \( 7(3x+7) = 2(1-4x) \implies 21x+49 = 2-8x \implies 29x = -47 \implies x = -\frac{47}{29} \)
Ecuația 2: \( 25(x+2) = 4x+3 \implies 25x+50 = 4x+3 \implies 21x = -47 \implies x = -\frac{47}{21} \)
\( S_1 \neq S_2 \implies \) Ecuațiile nu sunt echivalente.
c)
Ecuația 1: \( x + 5y = 21 \)
Ecuația 2: \( 4(x+y) = 3(x+7)-y \implies 4x+4y = 3x+21-y \implies 4x-3x+4y+y = 21 \implies x+5y = 21 \)
Cele două ecuații sunt identice \( \implies S_1 = S_2 \).
Ecuațiile sunt echivalente.
Rezolvare detaliată
Două ecuații (sau sisteme de ecuații) se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Vom rezolva fiecare ecuație sau sistem în parte pentru a compara mulțimile lor de soluții.
a) \( \sqrt{10} \cdot x - 5\sqrt{2} = 0 \) și \( 3 \cdot (2x - 7) = 6x - 21 \)
Pasul 1: Rezolvarea primei ecuații
Izolăm termenul care conține necunoscuta \( x \): \[ \sqrt{10} \cdot x = 5\sqrt{2} \] Împărțim prin \( \sqrt{10} \): \[ x = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \] Mulțimea soluțiilor este \( S_1 = \{ \sqrt{5} \} \).Pasul 2: Rezolvarea celei de-a doua ecuații
Desfacem parantezele în membrul stâng: \[ 6x - 21 = 6x - 21 \] Reducem termenii asemenea: \[ \cancel{6x} - \cancel{21} - \cancel{6x} + \cancel{21} = 0 \implies 0 = 0 \] Această egalitate este adevărată pentru orice \( x \in \mathbb{R} \). Deci, mulțimea soluțiilor este \( S_2 = \mathbb{R} \). Deoarece \( S_1 \neq S_2 \), ecuațiile **nu sunt echivalente**.b) \( 7 \cdot (3x + 7) = 2 \cdot (1 - 4x) \) și \( 25 \cdot (x + 2) = 4x + 3 \)
Pasul 1: Rezolvarea primei ecuații
Desfacem parantezele: \[ 21x + 49 = 2 - 8x \] Grupăm termenii cu \( x \) în stânga și numerele în dreapta: \[ 21x + 8x = 2 - 49 \implies 29x = -47 \implies x = -\frac{47}{29} \] Deci, \( S_1 = \{ -\frac{47}{29} \} \).Pasul 2: Rezolvarea celei de-a doua ecuații
Desfacem parantezele: \[ 25x + 50 = 4x + 3 \] Grupăm termenii: \[ 25x - 4x = 3 - 50 \implies 21x = -47 \implies x = -\frac{47}{21} \] Deci, \( S_2 = \{ -\frac{47}{21} \} \). Deoarece \( S_1 \neq S_2 \), ecuațiile **nu sunt echivalente**.c) \( x + 5y = 21 \) și \( 4 \cdot (x + y) = 3 \cdot (x + 7) - y \)
Pasul 1: Analizarea primei ecuații
Aceasta este o ecuație cu două necunoscute, reprezentând o dreaptă în plan.Pasul 2: Prelucrarea celei de-a doua ecuații
Desfacem parantezele: \[ 4x + 4y = 3x + 21 - y \] Trecem toți termenii cu variabile în membrul stâng: \[ 4x - 3x + 4y + y = 21 \implies x + 5y = 21 \] Observăm că, după prelucrare, a doua ecuație a devenit identică cu prima ecuație. Prin urmare, ambele au aceeași mulțime de soluții (perechi de numere \( (x, y) \)). Ecuațiile sunt **echivalente**.Rezolvare scurtă:
a) \( \sqrt{10}x = 5\sqrt{2} \implies x = \sqrt{5} \); \( 6x-21 = 6x-21 \implies 0=0 \). \( \{\sqrt{5}\} \neq \mathbb{R} \implies \) Nu.
b) \( 21x+49 = 2-8x \implies x = -47/29 \); \( 25x+50 = 4x+3 \implies x = -47/21 \). \( S_1 \neq S_2 \implies \) Nu.
c) \( x+5y=21 \); \( 4x+4y = 3x+21-y \implies x+5y=21 \). Identice \( \implies \) Da.
