Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
Notăm cu \( l = 47 \text{ m} \) latura pătratului și cu \( d \) diagonala sa.
Conform Teoremei lui Pitagora:\[ d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \]\[ d = \sqrt{2 \cdot 47^2} = 47\sqrt{2} \text{ m} \]Pentru estimare, aproximăm \( \sqrt{2} \approx 1,41 \):\[ d \approx 47 \cdot 1,41 \]\[ 47 \cdot 1,41 = 66,27 \text{ m} \]Verificare prin ridicare la pătrat:\[ d^2 = 2 \cdot 47^2 = 2 \cdot 2209 = 4418 \]\[ 66^2 = 4356 \]\[ 67^2 = 4489 \]\[ 4356 < 4418 < 4489 \implies 66 < d < 67 \]Lungimea estimată a diagonalei este de aproximativ \( 66,3 \text{ m} \).
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Determinarea formulei pentru diagonala pătratului
Într-un pătrat cu latura \( l \), diagonala \( d \) formează împreună cu două laturi un triunghi dreptunghic isoscel. Aplicând Teorema lui Pitagora, avem: \[ d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \] Prin extragerea rădăcinii pătrate, obținem formula generală: \[ d = l\sqrt{2} \] Pentru latura \( l = 47 \text{ m} \), lungimea diagonalei este: \[ d = 47\sqrt{2} \text{ m} \]Pasul 2: Estimarea valorii lui \( \sqrt{2} \)
Pentru a estima lungimea în metri (fără calculator), trebuie să aproximăm valoarea numărului irațional \( \sqrt{2} \). Știm că: \[ 1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2 \implies 1 < \sqrt{2} < 2 \] Căutăm o aproximare la nivelul zecimilor: \[ 1,4^2 = 1,96 \] \[ 1,5^2 = 2,25 \] Deoarece \( 1,96 \) este foarte aproape de \( 2 \), aproximăm \( \sqrt{2} \approx 1,41 \) (pentru o precizie mai bună la înmulțirea cu un număr mare precum 47).Pasul 3: Calcularea valorii estimate a diagonalei
Înmulțim lungimea laturii cu valoarea aproximată a lui \( \sqrt{2} \): \[ d \approx 47 \cdot 1,41 \] Efectuăm înmulțirea: \[ 47 \cdot 1 = 47 \] \[ 47 \cdot 0,4 = 18,8 \] \[ 47 \cdot 0,01 = 0,47 \] Adunăm rezultatele: \[ 47 + 18,8 + 0,47 = 65,8 + 0,47 = 66,27 \]Pasul 4: Încadrarea rezultatului
Putem verifica și prin ridicarea la pătrat a valorilor întregi pentru a vedea între ce numere se află \( d = \sqrt{2 \cdot 47^2} = \sqrt{2 \cdot 2209} = \sqrt{4418} \). Știm că: \[ 60^2 = 3600 \] \[ 70^2 = 4900 \] \[ 66^2 = 4356 \] \[ 67^2 = 4489 \] Rezultă că \( 66 < d < 67 \). Valoarea noastră estimată de \( 66,27 \text{ m} \) este corectă în acest interval.Rezolvare scurtă:
\( l = 47 \text{ m} \)
\( d = l\sqrt{2} = 47\sqrt{2} \text{ m} \)
\( \sqrt{2} \approx 1,41 \)
\( d \approx 47 \cdot 1,41 = 66,27 \text{ m} \)
\( d^2 = 4418 \); \( 66^2 = 4356 < 4418 < 4489 = 67^2 \)
\( d \approx 66,3 \text{ m} \)
