Cele mai importante aspecte ale lecției
Paralelogramul pe scurt:
- Definiție: Patrulaterul cu laturile opuse paralele.
- Proprietăți fundamentale: Dacă ai un paralelogram, știi automat că laturile opuse sunt = (congruente), unghiurile opuse sunt = (congruente), unghiurile alăturate au suma \( 180^\circ \), iar diagonalele se taie exact la jumătate (se înjumătățesc).
- Cum demonstrezi: Dacă un patrulater oarecare respectă măcar una dintre proprietățile de mai sus, el este automat paralelogram.
Un patrulater convex care are laturile opuse paralele se numește paralelogram.
Patrulaterul \( ABCD \) este paralelogram dacă și numai dacă:
\[ AB \parallel CD \text{ și } AD \parallel BC \]
Atenție la exprimare! Exprimarea „are laturile opuse paralele” (cu articol hotărât) înseamnă că ambele perechi de laturi opuse sunt paralele. Exprimarea „are laturi opuse paralele” se poate referi la o singură pereche (cum este cazul trapezului), deci nu este suficientă pentru a defini un paralelogram.
Într-un paralelogram sunt îndeplinite următoarele proprietăți referitoare la laturi, unghiuri și diagonale:
1. Laturile opuse sunt paralele (din definiție) și congruente:
\[ AB \equiv CD \text{ și } AD \equiv BC \]
2. Unghiurile opuse sunt congruente:
\[ \sphericalangle A \equiv \sphericalangle C \text{ și } \sphericalangle B \equiv \sphericalangle D \]
3. Unghiurile alăturate oricărei laturi sunt suplementare (suma măsurilor lor este \( 180^\circ \)):
\[ m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) = 180^\circ \]
\[ m(\sphericalangle B) + m(\sphericalangle C) = 180^\circ \]
\[ m(\sphericalangle C) + m(\sphericalangle D) = 180^\circ \]
\[ m(\sphericalangle D) + m(\sphericalangle A) = 180^\circ \]
4. Diagonalele se intersectează într-un punct care este mijlocul fiecăreia (se înjumătățesc):
Dacă \( AC \cap BD = \{O\} \), atunci \( AO \equiv OC \) și \( BO \equiv OD \).
Pentru a demonstra că un patrulater convex este paralelogram, este suficient să arătăm că este îndeplinită una dintre următoarele condiții (teoreme reciproce):
| Condiția suficientă (Criteriul) |
|---|
| Patrulaterul are laturile opuse congruente (\( AB \equiv CD \) și \( AD \equiv BC \)). |
| Patrulaterul are două laturi opuse paralele și congruente (ex: \( AB \parallel CD \) și \( AB \equiv CD \)). |
| Patrulaterul are unghiurile opuse congruente (\( \sphericalangle A \equiv \sphericalangle C \) și \( \sphericalangle B \equiv \sphericalangle D \)). |
| Patrulaterul are unghiurile alăturate suplementare. |
| Patrulaterul are diagonalele care se înjumătățesc (au același mijloc). |
Probleme practice
Dificultate Ușoară: Un unghi al unui paralelogram are măsura de \( 40^\circ \). Calculează măsurile celorlalte trei unghiuri.
Fie paralelogramul \( ABCD \) cu \( m(\sphericalangle A) = 40^\circ \).
1. Unghiurile opuse sunt congruente, deci \( m(\sphericalangle C) = m(\sphericalangle A) = 40^\circ \).
2. Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) = 180^\circ \).
3. \( m(\sphericalangle B) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
4. Unghiurile opuse fiind congruente, \( m(\sphericalangle D) = m(\sphericalangle B) = 140^\circ \).
Răspuns: Măsurile celorlalte unghiuri sunt \( 140^\circ \), \( 40^\circ \), \( 140^\circ \).
1. Unghiurile opuse sunt congruente, deci \( m(\sphericalangle C) = m(\sphericalangle A) = 40^\circ \).
2. Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) = 180^\circ \).
3. \( m(\sphericalangle B) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
4. Unghiurile opuse fiind congruente, \( m(\sphericalangle D) = m(\sphericalangle B) = 140^\circ \).
Răspuns: Măsurile celorlalte unghiuri sunt \( 140^\circ \), \( 40^\circ \), \( 140^\circ \).
Dificultate Medie: Patrulaterul \( ABCD \) este un paralelogram pentru care \( m(\sphericalangle B) = 4x^\circ + 15^\circ \) și \( m(\sphericalangle D) = 6x^\circ - 27^\circ \). Calculează măsurile celor patru unghiuri ale paralelogramului.
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Deci, \( \sphericalangle B \equiv \sphericalangle D \).
Egalăm cele două expresii:
\( 4x + 15 = 6x - 27 \)
\( 15 + 27 = 6x - 4x \)
\( 42 = 2x \implies x = 21 \)
Calculăm măsura unghiului B:
\( m(\sphericalangle B) = 4 \cdot 21 + 15 = 84 + 15 = 99^\circ \).
Deci \( m(\sphericalangle D) = 99^\circ \).
Deoarece unghiurile alăturate sunt suplementare, \( m(\sphericalangle A) = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ \).
Rezultă că și \( m(\sphericalangle C) = 81^\circ \).
Răspuns: \( m(\sphericalangle A) = 81^\circ, m(\sphericalangle B) = 99^\circ, m(\sphericalangle C) = 81^\circ, m(\sphericalangle D) = 99^\circ \).
Egalăm cele două expresii:
\( 4x + 15 = 6x - 27 \)
\( 15 + 27 = 6x - 4x \)
\( 42 = 2x \implies x = 21 \)
Calculăm măsura unghiului B:
\( m(\sphericalangle B) = 4 \cdot 21 + 15 = 84 + 15 = 99^\circ \).
Deci \( m(\sphericalangle D) = 99^\circ \).
Deoarece unghiurile alăturate sunt suplementare, \( m(\sphericalangle A) = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ \).
Rezultă că și \( m(\sphericalangle C) = 81^\circ \).
Răspuns: \( m(\sphericalangle A) = 81^\circ, m(\sphericalangle B) = 99^\circ, m(\sphericalangle C) = 81^\circ, m(\sphericalangle D) = 99^\circ \).
Dificultate Grea: Se dă un patrulater convex \( ABCD \). Stabilește dacă următoarele afirmații sunt suficiente pentru a garanta că \( ABCD \) este paralelogram. Justifică răspunsul.
a) \( AD \equiv BC \) și \( AB \parallel CD \)
b) \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) = 180^\circ \) și \( m(\sphericalangle C) + m(\sphericalangle D) = 180^\circ \)
a) \( AD \equiv BC \) și \( AB \parallel CD \)
b) \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) = 180^\circ \) și \( m(\sphericalangle C) + m(\sphericalangle D) = 180^\circ \)
a) Fals. Pentru a fi paralelogram folosind laturi paralele și congruente, trebuie ca aceeași pereche de laturi să fie și paralelă și congruentă (ex: \( AB \parallel CD \) și \( AB \equiv CD \)). Condiția dată se aplică și unui trapez isoscel (care are bazele paralele și laturile neparalele congruente).
b) Fals. Într-un paralelogram, suma unghiurilor alăturate este \( 180^\circ \) pe toate laturile. Condiția din enunț arată doar că dreptele \( AD \) și \( BC \) sunt paralele (formând unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare). Aceasta este proprietatea specifică unui trapez (baze paralele). Pentru a fi paralelogram, trebuia precizat, de exemplu, și că \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle D) = 180^\circ \).
b) Fals. Într-un paralelogram, suma unghiurilor alăturate este \( 180^\circ \) pe toate laturile. Condiția din enunț arată doar că dreptele \( AD \) și \( BC \) sunt paralele (formând unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare). Aceasta este proprietatea specifică unui trapez (baze paralele). Pentru a fi paralelogram, trebuia precizat, de exemplu, și că \( m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle D) = 180^\circ \).
