VI.3. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Analiza proprietăților tangentelor și construcția figurii

Dintr-un punct exterior \( M \) se duc două tangente la cercul de centru \( O \), în punctele \( A \) și \( B \). Conform teoremei tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc, avem următoarele proprietăți fundamentale: - Segmentele determinate de punctul exterior și punctele de contact sunt congruente: \( MA = MB \). - Razele sunt perpendiculare pe tangente în punctele de contact: \( OA \perp MA \) și \( OB \perp MB \). - Dreapta \( MO \) este bisectoarea unghiului \( \angle AMB \). Desenul conține un cerc cu centrul în O. Din punctul M, situat în exteriorul cercului, sunt trasate două segmente, MA și MB, care ating cercul în punctele A și B. Se trasează coarda AB, formând triunghiul ABM. De asemenea, se trasează razele OA și OB, formând triunghiul ABO.

Pasul 1: Calcularea unghiurilor triunghiului ABM

Deoarece \( MA = MB \), triunghiul \( ABM \) este un triunghi isoscel cu baza \( AB \). În orice triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente. Știm că \( m(\angle BMA) = 52^\circ \). Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este \( 180^\circ \). Calculăm măsura unghiurilor \( \angle MAB \) și \( \angle MBA \): \[ m(\angle MAB) = m(\angle MBA) = \frac{180^\circ - m(\angle BMA)}{2} \] \[ m(\angle MAB) = \frac{180^\circ - 52^\circ}{2} = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ \] Deci, unghiurile triunghiului \( ABM \) sunt: \( 52^\circ, 64^\circ, 64^\circ \).

Pasul 2: Calcularea unghiurilor triunghiului ABO

Folosim faptul că raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact: - \( m(\angle OAM) = 90^\circ \) - \( m(\angle OBM) = 90^\circ \) Unghiul \( \angle OAM \) este format din unghiurile \( \angle OAB \) și \( \angle MAB \). Putem afla \( m(\angle OAB) \) prin diferență: \[ m(\angle OAB) = m(\angle OAM) - m(\angle MAB) = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ \] Triunghiul \( ABO \) este de asemenea isoscel, deoarece \( OA = OB \) (fiind raze ale aceluiași cerc). Rezultă că unghiurile de la baza \( AB \) sunt congruente: \[ m(\angle OBA) = m(\angle OAB) = 26^\circ \] Măsura celui de-al treilea unghi, \( \angle AOB \), se află folosind suma unghiurilor în \( \triangle ABO \): \[ m(\angle AOB) = 180^\circ - (m(\angle OAB) + m(\angle OBA)) \] \[ m(\angle AOB) = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \] Deci, unghiurile triunghiului \( ABO \) sunt: \( 26^\circ, 26^\circ, 128^\circ \).

\( \triangle ABM \text{ (isoscel, } MA=MB): m(M)=52^\circ, m(A)=m(B)=\frac{180-52}{2}=64^\circ. \) \( \triangle ABO \text{ (isoscel, } OA=OB): m(OAB)=90-64=26^\circ, m(OBA)=26^\circ, m(AOB)=180-52=128^\circ. \)