Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Lecția V.5 conține următoarele grupuri de exerciții:

V.5. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele V.5. Autoevaluare

Alege rezolvarea exercițiului:

\( ABCD \) - romb, \( AC \cap BD = \{O\} \)a)\( m(\sphericalangle ABD) = 33^\circ \)
\( BD \) este bisectoarea \( \sphericalangle ABC \Rightarrow m(\sphericalangle ABC) = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \)
\( m(\sphericalangle ADC) = m(\sphericalangle ABC) = 66^\circ \) (unghiuri opuse)
\( m(\sphericalangle BCD) = 180^\circ - m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ \) (unghiuri suplementare)
\( m(\sphericalangle BAD) = m(\sphericalangle BCD) = 114^\circ \) (unghiuri opuse)
b)\( m(\sphericalangle ACD) = 71^\circ \)
\( AC \) este bisectoarea \( \sphericalangle BCD \Rightarrow m(\sphericalangle BCD) = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ \)
\( m(\sphericalangle BAD) = m(\sphericalangle BCD) = 142^\circ \)
\( m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ - m(\sphericalangle BCD) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \)
\( m(\sphericalangle ADC) = m(\sphericalangle ABC) = 38^\circ \)
c)\( m(\sphericalangle BCD) = 2 \cdot m(\sphericalangle ABC) \)
\( m(\sphericalangle ABC) + m(\sphericalangle BCD) = 180^\circ \)
\( m(\sphericalangle ABC) + 2 \cdot m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ \Rightarrow 3 \cdot m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ \)
\( m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ : 3 = 60^\circ \)
\( m(\sphericalangle ADC) = m(\sphericalangle ABC) = 60^\circ \)
\( m(\sphericalangle BCD) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \)
\( m(\sphericalangle BAD) = m(\sphericalangle BCD) = 120^\circ \)

Analiza proprietăților rombului
În rezolvarea acestei probleme, vom utiliza următoarele proprietăți fundamentale ale rombului:
- Diagonalele rombului sunt bisectoarele unghiurilor acestuia.
- Unghiurile opuse ale rombului sunt congruente: \( \sphericalangle ABC = \sphericalangle ADC \) și \( \sphericalangle BCD = \sphericalangle BAD \).
- Unghiurile alăturate oricărei laturi sunt suplementare: \( \sphericalangle ABC + \sphericalangle BCD = 180^\circ \).

a) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ABD = 33^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle ABC \)
Deoarece diagonala \( BD \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle ABC \), rezultă că măsura întregului unghi este dublul măsurii date:
\[ m(\sphericalangle ABC) = 2 \cdot m(\sphericalangle ABD) = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \]

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri
Folosind proprietățile rombului:
- Unghiul opus \( \sphericalangle ADC = \sphericalangle ABC = 66^\circ \).
- Unghiurile alăturate sunt suplementare: \( m(\sphericalangle BCD) = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ \).
- Unghiul opus \( \sphericalangle BAD = \sphericalangle BCD = 114^\circ \).

b) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ACD = 71^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle BCD \)
Diagonala \( AC \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle BCD \), deci:
\[ m(\sphericalangle BCD) = 2 \cdot m(\sphericalangle ACD) = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ \]

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri
- Unghiul opus \( \sphericalangle BAD = \sphericalangle BCD = 142^\circ \).
- Unghiurile alăturate sunt suplementare: \( m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \).
- Unghiul opus \( \sphericalangle ADC = \sphericalangle ABC = 38^\circ \).

c) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle BCD = 2 \cdot \sphericalangle ABC \)

Pasul 1: Formarea ecuației pe baza proprietății de suplementaritate
Știm că suma a două unghiuri alăturate este \( 180^\circ \):
\[ m(\sphericalangle ABC) + m(\sphericalangle BCD) = 180^\circ \]
Înlocuim \( m(\sphericalangle BCD) \) cu \( 2 \cdot m(\sphericalangle ABC) \):
\[ m(\sphericalangle ABC) + 2 \cdot m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ \]

Pasul 2: Rezolvarea ecuației
\[ 3 \cdot m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ \]
\[ m(\sphericalangle ABC) = 180^\circ : 3 = 60^\circ \]

Pasul 3: Calcularea măsurilor finale
- \( m(\sphericalangle ABC) = 60^\circ \), deci \( m(\sphericalangle ADC) = 60^\circ \).
- \( m(\sphericalangle BCD) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \), deci \( m(\sphericalangle BAD) = 120^\circ \).

Rezolvare scurtă:

a)
\( \sphericalangle ABC = \sphericalangle ADC = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \)
\( \sphericalangle BCD = \sphericalangle BAD = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ \)
b)
\( \sphericalangle BCD = \sphericalangle BAD = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ \)
\( \sphericalangle ABC = \sphericalangle ADC = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \)
c)
\( x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \)
\( \sphericalangle ABC = \sphericalangle ADC = 60^\circ \)
\( \sphericalangle BCD = \sphericalangle BAD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive egale (ceea ce face ca toate laturile să fie egale).

Rețineți cele 3 proprietăți definitorii în demonstrarea problemelor de geometrie:

Laturile: Toate cele 4 laturi au aceeași lungime (\(l_1 = l_2 = l_3 = l_4\)).
Diagonalele (unghiurile dintre ele): Se intersectează formând unghiuri de \(90^\circ\) (\( \perp \)).
Diagonalele (raportat la unghiurile figurii): Împart unghiurile rombului în jumătăți perfecte (sunt bisectoare).

Dacă demonstrați oricare dintre aceste ultime două proprietăți despre un paralelogram simplu, ați demonstrat automat că este romb!

Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.

Un patrulater ABCD sub formă de romb, cu diagonalele AC și BD care se intersectează în punctul O. Pe toate cele patru laturi (AB, BC, CD, DA) există câte un mic marcaj identic (o linie tăiată) pentru a ilustra congruența lor. La intersecția diagonalelor, în punctul O, se află un simbol de unghi drept (un mic pătrat), arătând că sunt perpendiculare. De asemenea, unghiurile de la vârfuri sunt marcate simetric pentru a arăta că diagonalele sunt bisectoare.

Deoarece rombul este un caz particular de paralelogram, acesta moștenește toate proprietățile paralelogramului (laturile opuse sunt paralele și congruente, unghiurile opuse sunt congruente, diagonalele se înjumătățesc etc.).

Pe lângă proprietățile paralelogramului, rombul are următoarele trei proprietăți fundamentale care derivă din definiția sa:

Teorema 1: Toate laturile sunt congruente
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci \( AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD \).

Teorema 2: Diagonalele sunt perpendiculare
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele formează un unghi de 90° la intersecția lor: \( AC \perp BD \).

Teorema 3: Diagonalele sunt bisectoare
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele acestuia sunt bisectoarele unghiurilor sale.
\( \measuredangle DAC \equiv \measuredangle BAC \), \( \measuredangle DCA \equiv \measuredangle BCA \) (pentru diagonala \(AC\))
\( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CBD \), \( \measuredangle ADB \equiv \measuredangle CDB \) (pentru diagonala \(BD\))

Pentru a demonstra că un patrulater oarecare este romb, trebuie fie să arătăm direct că are toate cele 4 laturi congruente, fie să demonstrăm mai întâi că este paralelogram, iar apoi să verificăm una dintre următoarele condiții (reciprocele teoremelor):

Arătăm că paralelogramul are două laturi consecutive congruente.
(Dacă \(ABCD\) - paralelogram și \(AB \equiv BC \implies ABCD\) - romb)

Arătăm că paralelogramul are diagonalele perpendiculare.

\[ ABCD \text{ paralelogram și } AC \perp BD \iff ABCD \text{ romb} \]

Arătăm că o diagonală a paralelogramului este bisectoarea unuia dintre unghiurile acestuia.

\[ ABCD \text{ paralelogram și } \measuredangle BAC \equiv \measuredangle DAC \iff ABCD \text{ romb} \]

Exerciții

Ușoară: Într-un romb \(ABCD\), măsura unghiului \(ABD\) este de \(33^\circ\). Calculați măsura unghiului \(ABC\) și măsura unghiului \(ADC\).

Deoarece \(ABCD\) este romb, diagonala \(BD\) este bisectoarea unghiului \(ABC\).
Prin urmare, \( \measuredangle ABC = 2 \cdot \measuredangle ABD = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \).
Deoarece rombul este un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Așadar, \( \measuredangle ADC \equiv \measuredangle ABC \implies \measuredangle ADC = 66^\circ \).

Medie: Se consideră un paralelogram \(MNPQ\). Se știe că \(MP \perp NQ\) și că perimetrul paralelogramului este de \(48 \text{ cm}\). Calculați lungimea laturii \(MN\).

Știm că \(MNPQ\) este un paralelogram. Din ipoteză avem că diagonalele sale sunt perpendiculare (\(MP \perp NQ\)).
Conform teoremei reciproce: Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb.
Deci, \(MNPQ\) este romb. Într-un romb, toate cele 4 laturi sunt congruente.
Formula perimetrului este \( P = 4 \cdot l \).
\( 4 \cdot MN = 48 \text{ cm} \implies MN = 48 : 4 = 12 \text{ cm} \).

Dificilă: Se dă rombul \(ABCD\) în care lungimea diagonalei \(AC\) este egală cu lungimea laturii \(AB\). Calculați măsurile tuturor unghiurilor rombului.

Deoarece \(ABCD\) este romb, toate laturile sale sunt congruente: \( AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD \).
Din ipoteză avem că \( AC = AB \).
Dacă ne uităm la triunghiul \( \triangle ABC \), laturile sale sunt \( AB, BC \) și \( AC \). Deoarece \( AB = BC \) (laturi de romb) și \( AC = AB \) (din ipoteză), rezultă că \( AB = BC = AC \).
Prin urmare, triunghiul \( \triangle ABC \) este echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile au \(60^\circ\).
Așadar, \( \measuredangle B = 60^\circ \).
Folosind proprietățile paralelogramului (rombului):
- Unghiurile opuse sunt congruente: \( \measuredangle D = \measuredangle B = 60^\circ \).
- Unghiurile consecutive sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)): \( \measuredangle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
- Din nou, unghiuri opuse: \( \measuredangle C = \measuredangle A = 120^\circ \).
Răspuns: Unghiurile rombului sunt \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).

V.5. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Lecția V.5 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Analiza proprietăților rombului

a) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ABD = 33^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle ABC \)

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri

b) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ACD = 71^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle BCD \)

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri

c) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle BCD = 2 \cdot \sphericalangle ABC \)

Pasul 1: Formarea ecuației pe baza proprietății de suplementaritate

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Pasul 3: Calcularea măsurilor finale

Rezolvare scurtă:

a)

b)

c)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Exerciții

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Lecția V.5 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

Rezolvare detaliată

Analiza proprietăților rombului

a) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ABD = 33^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle ABC \)

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri

b) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle ACD = 71^\circ \)

Pasul 1: Determinarea măsurii unghiului \( \sphericalangle BCD \)

Pasul 2: Determinarea celorlalte unghiuri

c) Calcularea măsurilor știind că \( \sphericalangle BCD = 2 \cdot \sphericalangle ABC \)

Pasul 1: Formarea ecuației pe baza proprietății de suplementaritate

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Pasul 3: Calcularea măsurilor finale

Rezolvare scurtă:

a)

b)

c)

Exerciții

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: