Cele mai importante aspecte ale lecției
Ecuația liniară cu două necunoscute: Are forma \( ax + by = c \). Soluția ei este o pereche ordonată \( (x, y) \). Exemplu: \( 2x + y = 5 \) are soluția \( (2, 1) \).
Sistem de ecuații: Reprezintă două ecuații liniare luate împreună. O soluție a sistemului trebuie să verifice ambele ecuații în același timp.
Echivalența: Două ecuații sau sisteme se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții. Orice transformare algebrică corectă (adunare, scădere, trecerea termenilor dintr-o parte în alta) menține echivalența.
Sistem de ecuații: Reprezintă două ecuații liniare luate împreună. O soluție a sistemului trebuie să verifice ambele ecuații în același timp.
Echivalența: Două ecuații sau sisteme se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții. Orice transformare algebrică corectă (adunare, scădere, trecerea termenilor dintr-o parte în alta) menține echivalența.
O ecuație de forma \( ax + by = c \), unde \( a, b, c \) sunt numere reale, \( a \neq 0 \) și \( b \neq 0 \), iar \( x \) și \( y \) sunt necunoscute.
Numerele \( a \) și \( b \) sunt coeficienții necunoscutelor, iar \( c \) este termenul liber.
O soluție a ecuației este o pereche ordonată de numere \( (x_0, y_0) \) care, înlocuită în ecuație, conduce la o egalitate adevărată. Ordinea de scriere a numerelor corespunde ordinii necunoscutelor!
Pentru ecuația \( 4x + 3y = 21 \):
Perechea \( (0, 7) \) este soluție deoarece \( 4 \cdot 0 + 3 \cdot 7 = 21 \).
Perechea \( (7, 0) \) nu este soluție deoarece \( 4 \cdot 7 + 3 \cdot 0 = 28 \neq 21 \).
Perechea \( (0, 7) \) este soluție deoarece \( 4 \cdot 0 + 3 \cdot 7 = 21 \).
Perechea \( (7, 0) \) nu este soluție deoarece \( 4 \cdot 7 + 3 \cdot 0 = 28 \neq 21 \).
Exprimați necunoscuta \( y \) în funcție de \( x \) din ecuația \( 5x + 3y = 4 \).
Păstrăm termenul cu \( y \) în membrul stâng și trecem restul în dreapta, cu semn schimbat:
\( 3y = 4 - 5x \)
Împărțim ambii membri la 3:
\( y = \frac{4 - 5x}{3} \)
\( 3y = 4 - 5x \)
Împărțim ambii membri la 3:
\( y = \frac{4 - 5x}{3} \)
Un sistem este format din alăturarea a două ecuații liniare cu aceleași două necunoscute.
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]
O soluție a sistemului este o pereche ordonată \( (x, y) \) care verifică ambele ecuații în același timp.
Pentru sistemul \( \begin{cases} 3x + y = 50 \\ x + 2y = 40 \end{cases} \):
Perechea \( (12, 14) \) este soluție deoarece verifică prima ecuație \( (3 \cdot 12 + 14 = 36 + 14 = 50) \) și pe a doua \( (12 + 2 \cdot 14 = 12 + 28 = 40) \).
Perechea \( (12, 14) \) este soluție deoarece verifică prima ecuație \( (3 \cdot 12 + 14 = 36 + 14 = 50) \) și pe a doua \( (12 + 2 \cdot 14 = 12 + 28 = 40) \).
Verificați dacă perechea \( (13, 11) \) este soluție pentru sistemul din exemplul de mai sus.
Verificăm prima ecuație: \( 3 \cdot 13 + 11 = 39 + 11 = 50 \) (Adevărat).
Verificăm a doua ecuație: \( 13 + 2 \cdot 11 = 13 + 22 = 35 \neq 40 \) (Fals).
Răspuns: Deoarece nu verifică a doua ecuație, \( (13, 11) \) nu este soluție a sistemului.
Verificăm a doua ecuație: \( 13 + 2 \cdot 11 = 13 + 22 = 35 \neq 40 \) (Fals).
Răspuns: Deoarece nu verifică a doua ecuație, \( (13, 11) \) nu este soluție a sistemului.
Două ecuații liniare cu două necunoscute (sau două sisteme) se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții.
Sistemul \( \begin{cases} \sqrt{2}x = 4 \\ -3\sqrt{2}x + y = 2 \end{cases} \) este echivalent cu sistemul \( \begin{cases} x = 2\sqrt{2} \\ y = 14 \end{cases} \) deoarece ambele admit ca unică soluție perechea \( (2\sqrt{2}, 14) \).
Arătați că ecuația \( x^2 + 3x + 1 = x(x - 2) - 3y + 5 \) este echivalentă cu ecuația liniară \( 5x + 3y = 4 \).
Desfacem parantezele și trecem toți termenii cu necunoscute în membrul stâng, iar termenii liberi în dreapta:
\( x^2 + 3x + 1 = x^2 - 2x - 3y + 5 \)
\( x^2 - x^2 + 3x + 2x + 3y = 5 - 1 \)
\( 5x + 3y = 4 \)
Obținând aceeași formă, ecuațiile admit exact aceleași soluții, deci sunt echivalente.
\( x^2 + 3x + 1 = x^2 - 2x - 3y + 5 \)
\( x^2 - x^2 + 3x + 2x + 3y = 5 - 1 \)
\( 5x + 3y = 4 \)
Obținând aceeași formă, ecuațiile admit exact aceleași soluții, deci sunt echivalente.
Probleme de antrenament
Ușoară: Se consideră ecuația \( 2x - 3y = 7 \). Verificați dacă perechea ordonată de numere reale \( (5, 1) \) este soluție a acestei ecuații.
Înlocuim \( x = 5 \) și \( y = 1 \) în ecuația dată:
\( 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = 7 \).
Deoarece am obținut o egalitate adevărată (\( 7 = 7 \)), perechea \( (5, 1) \) este soluție.
\( 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = 7 \).
Deoarece am obținut o egalitate adevărată (\( 7 = 7 \)), perechea \( (5, 1) \) este soluție.
Medie: Demonstrați că perechea \( (3, -1) \) este soluție a sistemului de ecuații:
\[ \begin{cases} 4x + y = 11 \\ 3x + 5y = 4 \end{cases} \]
Pentru ca o pereche să fie soluție a sistemului, ea trebuie să verifice ambele ecuații.
Verificăm prima ecuație (\( x = 3, y = -1 \)):
\( 4 \cdot 3 + (-1) = 12 - 1 = 11 \) (Adevărat).
Verificăm a doua ecuație:
\( 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 9 - 5 = 4 \) (Adevărat).
Ambele ecuații sunt verificate, așadar perechea \( (3, -1) \) este soluție a sistemului.
Verificăm prima ecuație (\( x = 3, y = -1 \)):
\( 4 \cdot 3 + (-1) = 12 - 1 = 11 \) (Adevărat).
Verificăm a doua ecuație:
\( 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 9 - 5 = 4 \) (Adevărat).
Ambele ecuații sunt verificate, așadar perechea \( (3, -1) \) este soluție a sistemului.
Dificilă: Se consideră sistemul de ecuații \( \begin{cases} x + 3y = 7 \\ ax + y = -5 \end{cases} \). Știind că sistemul admite soluția \( (-2, 3) \), aflați valoarea numărului real \( a \).
Dacă \( (-2, 3) \) este soluție a sistemului, înseamnă că perechea verifică ambele ecuații. Prima ecuație este deja verificată (\( -2 + 3 \cdot 3 = 7 \)).
Înlocuim \( x = -2 \) și \( y = 3 \) în a doua ecuație pentru a-l afla pe \( a \):
\( a \cdot (-2) + 3 = -5 \)
\( -2a = -5 - 3 \)
\( -2a = -8 \)
Împărțim la \( -2 \):
\( a = 4 \).
Înlocuim \( x = -2 \) și \( y = 3 \) în a doua ecuație pentru a-l afla pe \( a \):
\( a \cdot (-2) + 3 = -5 \)
\( -2a = -5 - 3 \)
\( -2a = -8 \)
Împărțim la \( -2 \):
\( a = 4 \).
