I.2. Algebră - Subiectul III

Pasul 1: Descompunerea numerelor în factori primi

Pentru a calcula cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.), vom descompune fiecare număr în produs de puteri de numere prime folosind algoritmul împărțirilor succesive. Pentru 144: \[ \begin{array}{l|l} 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \implies 144 = 2^4 \cdot 3^2 \] Pentru 180: \[ \begin{array}{l|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \implies 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \] Pentru 360: \[ \begin{array}{l|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \implies 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Conform regulii, cel mai mare divizor comun se obține prin înmulțirea factorilor primi comuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mică. Factorii comuni pentru cele trei numere sunt \( 2 \) și \( 3 \). - Pentru factorul \( 2 \), puterile sunt \( 4, 2 \) și \( 3 \). Puterea cea mai mică este \( 2^2 \). - Pentru factorul \( 3 \), puterea este \( 2 \) în toate cazurile. Puterea cea mai mică este \( 3^2 \). Calculăm produsul: \[ (144, 180, 360) = 2^2 \cdot 3^2 \] \[ (144, 180, 360) = 4 \cdot 9 = 36 \] Rezultatul este 36, ceea ce corespunde variantei C.

\[ 144 = 2^4 \cdot 3^2 \] \[ 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \] \[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \] \[ (144, 180, 360) = 2^2 \cdot 3^2 = 36 \] Răspuns: C.