Cele mai importante aspecte ale lecției
- Congruența: Arcele congruente au coarde congruente și invers: \(\overset{\LARGE\frown}{AB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CD} \iff AB \equiv CD\).
- Perpendicularitatea: Dacă un diametru este perpendicular pe o coardă, el trece obligatoriu prin mijlocul acelei coarde și prin mijloacele arcelor acesteia.
- Paralelismul: Două coarde paralele prind între ele două arce lateral congruente. (și reciproc)
- Distanța de la centru: Două coarde sunt congruente dacă și numai dacă se află la aceeași distanță față de centrul cercului.
Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde congruente. Reciproc, la coarde congruente corespund arce congruente.
- Dacă \(\overset{\LARGE\frown}{AB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CD}\), atunci \(AB \equiv CD\).
- Dacă \(AB \equiv CD\), atunci \(\overset{\LARGE\frown}{AB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CD}\) (arcele mici) și \(\overset{\LARGE\frown}{ACB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CAD}\) (arcele mari).
Într-un cerc, se desenează două coarde \(MN\) și \(PQ\). Dacă măsura arcului \(\overset{\LARGE\frown}{MN}\) este de \(75^\circ\) și coarda \(PQ \equiv MN\), care este măsura arcului mic \(\overset{\LARGE\frown}{PQ}\)?
Conform teoremei, dacă două coarde sunt congruente (\(PQ \equiv MN\)), atunci și arcele subîntinse de ele sunt congruente.
Prin urmare, \(\overset{\LARGE\frown}{PQ} \equiv \overset{\LARGE\frown}{MN}\), deci măsura arcului \(\overset{\LARGE\frown}{PQ}\) este de \(75^\circ\).
Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijloacele arcelor determinate de acea coardă (înjumătățește coarda și arcele).
Dacă diametrul \(PN \perp AB\) și se intersectează în punctul \(M\):
- \(AM \equiv MB\) (coarda este înjumătățită);
- \(\overset{\LARGE\frown}{AN} \equiv \overset{\LARGE\frown}{NB}\) (arcul mic este înjumătățit);
- \(\overset{\LARGE\frown}{AP} \equiv \overset{\LARGE\frown}{PB}\) (arcul mare este înjumătățit).
Diametrul \(CD\) este perpendicular pe coarda \(AB\) a unui cerc în punctul \(E\). Dacă \(AB = 12 \text{ cm}\), care este lungimea segmentului \(AE\)?
Deoarece diametrul este perpendicular pe coardă, el o înjumătățește. Punctul \(E\) este mijlocul lui \(AB\).
\[ AE = AB : 2 = 12 \text{ cm} : 2 = 6 \text{ cm} \]
Dacă două coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente. Reciproc, dacă două coarde cuprind între ele arce congruente, atunci coardele sunt paralele.
Dacă \(AB \parallel CD\), atunci \(\overset{\LARGE\frown}{AC} \equiv \overset{\LARGE\frown}{BD}\).
Într-un cerc se trasează coardele paralele \(EF\) și \(GH\). Dacă măsura arcului \(\overset{\LARGE\frown}{EG}\) este de \(40^\circ\), care este măsura arcului \(\overset{\LARGE\frown}{FH}\)?
Deoarece coardele \(EF\) și \(GH\) sunt paralele, ele determină între ele arce congruente.
Astfel, \(\overset{\LARGE\frown}{EG} \equiv \overset{\LARGE\frown}{FH}\). Rezultă că măsura arcului \(\overset{\LARGE\frown}{FH}\) este \(40^\circ\).
Două coarde ale unui cerc egal depărtate de centrul cercului sunt congruente. Reciproc, două coarde congruente ale unui cerc sunt egal depărtate de centrul cercului.
Distanța de la punctul central \(O\) la o coardă reprezintă lungimea perpendicularei duse din \(O\) pe acea coardă.
Dacă \(OM \perp AB\) și \(ON \perp CD\):
Dacă \(OM \equiv ON\), atunci \(AB \equiv CD\).
Dacă \(OM \equiv ON\), atunci \(AB \equiv CD\).
Coardele \(AB\) și \(CD\) ale unui cerc de centru \(O\) au ambele lungimea de \(8 \text{ cm}\). Distanța de la centrul \(O\) la coarda \(AB\) este de \(3 \text{ cm}\). Care este distanța de la centrul \(O\) la coarda \(CD\)?
Deoarece coardele sunt congruente (\(AB = CD = 8 \text{ cm}\)), ele sunt egal depărtate de centrul cercului.
Astfel, distanța de la \(O\) la \(CD\) este egală cu distanța de la \(O\) la \(AB\), adică \(3 \text{ cm}\).
Probleme de antrenament
Nivel Ușor: Un cerc are raza de \(5 \text{ cm}\). O coardă \(AB\) se află la distanța de \(3 \text{ cm}\) față de centrul cercului. Determinați lungimea unei alte coarde \(CD\) a aceluiași cerc, știind că \(\overset{\LARGE\frown}{AB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CD}\).
Fie \(OM \perp AB\). Deoarece diametrul perpendicular pe coardă o înjumătățește, triunghiul \(OAM\) este dreptunghic în \(M\), unde \(OA = 5 \text{ cm}\) (raza) și \(OM = 3 \text{ cm}\) (distanța).
Aplicând Teorema lui Pitagora în \(\triangle OAM\): \(AM^2 = OA^2 - OM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies AM = 4 \text{ cm}\).
Lungimea coardei \(AB\) este \(2 \cdot AM = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}\).
Deoarece \(\overset{\LARGE\frown}{AB} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CD}\), coardele corespunzătoare sunt congruente. Deci \(CD = AB = 8 \text{ cm}\).
Nivel Mediu: Un arc mic \(AB\) al unui cerc are măsura de \(20^\circ\). Se notează cu \(C\) și \(D\) punctele diametral opuse punctelor \(A\), respectiv \(B\).
a) Calculați măsurile arcelor mici \(AD\) și \(BC\).
b) Demonstrați că dreptele \(AD\) și \(BC\) sunt paralele.
a) Calculați măsurile arcelor mici \(AD\) și \(BC\).
b) Demonstrați că dreptele \(AD\) și \(BC\) sunt paralele.
a) Punctele \(A\) și \(C\) fiind diametral opuse, determină arcul \(\overset{\LARGE\frown}{ABC} = 180^\circ\). Atunci, \(\overset{\LARGE\frown}{BC} = 180^\circ - \overset{\LARGE\frown}{AB} = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).
Analog, punctele \(B\) și \(D\) fiind diametral opuse determină arcul \(\overset{\LARGE\frown}{BAD} = 180^\circ\). Rezultă \(\overset{\LARGE\frown}{AD} = 180^\circ - \overset{\LARGE\frown}{AB} = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).
b) \(\overset{\LARGE\frown}{CD}\) se opune la vârf unghiului la centru \(AOB\), deci are măsura de \(20^\circ\). Coardele \(AD\) și \(BC\) cuprind între ele arcele \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\) și \(\overset{\LARGE\frown}{CD}\).
Deoarece \(\overset{\LARGE\frown}{AB} = 20^\circ\) și \(\overset{\LARGE\frown}{CD} = 20^\circ\), arcele cuprinse între cele două coarde sunt congruente. Conform proprietății coardelor paralele, rezultă că \(AD \parallel BC\).
Nivel Dificil: Fie \(AB\) o coardă a unui cerc de centru \(O\). Punctul \(E\) este mijlocul coardei \(AB\). O altă coardă \(CD\) se trasează astfel încât trece prin punctul \(E\). Dacă \(C\) este mijlocul arcului determinat de \(AB\), demonstrați că diametrul cercului se află pe dreapta \(CD\).
Pentru a demonstra că un diametru se află pe dreapta \(CD\), trebuie să arătăm că punctele \(C\), \(E\) și centrul \(O\) sunt coliniare.
Deoarece \(C\) este mijlocul arcului \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\), avem \(\overset{\LARGE\frown}{CA} \equiv \overset{\LARGE\frown}{CB}\). Conform teoremei arcelor și coardelor, deducem că \(CA \equiv CB\).
Punctul \(E\) este mijlocul coardei \(AB\), prin urmare \(EA \equiv EB\). De asemenea, \(OA \equiv OB\) (deoarece ambele sunt raze ale cercului).
Egalitățile \(OA = OB\), \(EA = EB\), și \(CA = CB\) demonstrează că punctele \(O\), \(E\) și \(C\) se află la distanțe egale de capetele segmentului \(AB\). Aceasta înseamnă că toate trei aparțin mediatoarei segmentului \(AB\).
Deoarece \(O\), \(E\) și \(C\) sunt pe mediatoare, ele sunt coliniare. Cum \(CD\) este o dreaptă ce conține punctele \(C\) și \(E\), rezultă că ea trece și prin centrul \(O\). Orice coardă care trece prin centrul cercului este un diametru, deci dreapta \(CD\) conține diametrul.
