Cele mai importante aspecte ale lecției
Asemănarea triunghiurilor - Recapitulare rapidă:
- Teorema lui Thales: O paralelă la o latură împarte celelalte laturi în segmente proporționale. (\( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \))
- Teorema bisectoarei: Împarte latura opusă proporțional cu laturile unghiului. (\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \))
- TFA (Teorema Fundamentală a Asemănării): O paralelă la o latură a unui triunghi formează un nou triunghi, asemenea cu cel mare.
- Criterii de asemănare: UU (două unghiuri egale), LUL (două laturi proporționale și unghiul dintre ele egal), LLL (toate cele trei laturi proporționale).
- Arii: Raportul ariilor triunghiurilor asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare (\( k^2 \)).
Segmentele \( AB, CD \) și \( EF \) sunt respectiv proporționale cu segmentele \( A'B', C'D' \) și \( E'F' \) dacă lungimile lor formează un șir de rapoarte egale.
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} \]
Proprietatea șirului de rapoarte egale:
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{AB + CD + EF}{A'B' + C'D' + E'F'} \]
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{AB + CD + EF}{A'B' + C'D' + E'F'} \]
Teorema paralelelor echidistante: Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente. Această teoremă este utilă pentru a împărți un segment în părți egale.
Raportul în care un punct împarte un segment: Dacă \( M \in AB \), raportul în care \( M \) împarte segmentul \( AB \) este \( \frac{AM}{MB} \).
Teorema lui Thales: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.
Dacă \( M \in AB \), \( N \in AC \) și \( MN \parallel BC \), atunci:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Forme derivate utile: \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \) și \( \frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC} \)
Reciproca teoremei lui Thales: Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu a treia latură. (Dacă \( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BC \)).
Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
Dacă \( AD \) este bisectoarea unghiului \( \angle BAC \) și \( D \in BC \):
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate unghiurile respectiv congruente și toate laturile omoloage (care se opun unghiurilor congruente) respectiv proporționale.
Scriem \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \). Valoarea rapoartelor laturilor omoloage se numește raport de asemănare (\( k \)).
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \]
Teorema fundamentală a asemănării (TFA): O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel inițial.
Dacă \( DE \parallel BC \) (\( D \in AB, E \in AC \)) \(\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC\).
Criteriile de asemănare sunt teoreme care ne permit să demonstrăm că două triunghiuri sunt asemenea verificând mai puține condiții decât cele din definiție.
Criteriul UU (Unghi-Unghi): Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.
Criteriul LUL (Latură-Unghi-Latură): Două triunghiuri care au o pereche de unghiuri respectiv congruente și laturile care formează aceste unghiuri respectiv proporționale sunt asemenea.
Criteriul LLL (Latură-Latură-Latură): Două triunghiuri care au toate cele trei laturi respectiv proporționale sunt asemenea.
Proprietăți esențiale pentru două triunghiuri asemenea având raportul de asemănare \( k \):
1. Raportul înălțimilor: Raportul înălțimilor corespunzătoare este egal cu raportul de asemănare.
\[ \frac{h_1}{h_2} = k \] 2. Raportul ariilor: Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare.
\[ \frac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2} = k^2 \]
\[ \frac{h_1}{h_2} = k \] 2. Raportul ariilor: Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare.
\[ \frac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2} = k^2 \]
Aplicații practice: Asemănarea se folosește pentru a măsura distanțe inaccesibile. De exemplu, înălțimea unui copac se poate afla comparând lungimea umbrei sale cu lungimea umbrei unui obiect de înălțime cunoscută (baston), deoarece razele soarelui formează unghiuri congruente (criteriul UU).
Exerciții
Ușoară: În triunghiul \( ABC \), dreapta \( MN \parallel BC \), cu \( M \in AB \) și \( N \in AC \). Dacă \( AM = 4 \text{ cm} \), \( MB = 6 \text{ cm} \) și \( AN = 6 \text{ cm} \), calculați lungimea segmentului \( NC \).
Conform Teoremei lui Thales, deoarece \( MN \parallel BC \), avem:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Înlocuim datele:
\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{NC} \Rightarrow 4 \cdot NC = 36 \Rightarrow NC = 9 \text{ cm} \]
Medie: Se dă triunghiul \( ABC \) cu \( AB = 10 \text{ cm} \), \( AC = 15 \text{ cm} \) și \( BC = 12 \text{ cm} \). Fie \( AD \) bisectoarea unghiului \( A \), cu \( D \in BC \). Calculați lungimile segmentelor \( BD \) și \( DC \).
Conform Teoremei bisectoarei:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]
Știm că \( BD + DC = BC = 12 \). Putem scrie \( BD = \frac{2}{3} DC \).
\[ \frac{2}{3} DC + DC = 12 \Rightarrow \frac{5}{3} DC = 12 \Rightarrow DC = \frac{36}{5} = 7,2 \text{ cm} \]
\( BD = 12 - 7,2 = 4,8 \text{ cm} \).
Dificilă: Triunghiurile \( \triangle ABC \) și \( \triangle DEF \) sunt asemenea. Se știe că \( AB = 5 \text{ cm} \), \( DE = 15 \text{ cm} \), iar aria triunghiului \( \triangle ABC \) este \( 20 \text{ cm}^2 \). Calculați aria triunghiului \( \triangle DEF \).
Calculăm raportul de asemănare \( k \):
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3 \) (considerând raportul de la triunghiul mare la cel mic).
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3 \) (considerând raportul de la triunghiul mare la cel mic).
Folosim proprietatea raportului ariilor. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este \( k^2 \):
\( \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = 3^2 = 9 \)
\( \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = 3^2 = 9 \)
Calculăm aria:
\( \mathcal{A}_{DEF} = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2 \).
\( \mathcal{A}_{DEF} = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Un băț cu înălțimea de \( 2 \text{ m} \), așezat vertical, are o umbră lungă de \( 3 \text{ m} \). În același timp, o clădire alăturată proiectează o umbră lungă de \( 24 \text{ m} \). Care este înălțimea clădirii?
Razele soarelui cad sub același unghi, așadar se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea (criteriul UU).
Fie \( h \) înălțimea clădirii. Raportul înălțimilor este egal cu raportul umbrelor:
\[ \frac{h}{2} = \frac{24}{3} \]
\[ \frac{h}{2} = 8 \Rightarrow h = 16 \text{ m} \]
Răspuns: Clădirea are o înălțime de \( 16 \text{ m} \).
