Lecția III.7 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
Fie \( x \) prețul unui bilet pentru adulți și \( y \) prețul unui bilet pentru copii.\[ 6x + 4y = 720 \]\[ y = 75\% \cdot x = \frac{75}{100}x = \frac{3}{4}x \]
a)
Dacă \( y = 25 \Rightarrow 25 = \frac{3}{4}x \Rightarrow x = \frac{100}{3} \)
Verificăm în prima ecuație:\[ 6 \cdot \frac{100}{3} + 4 \cdot 25 = 2 \cdot 100 + 100 = 300 \neq 720 \]Nu este posibil.
b)
Înlocuim \( y = \frac{3}{4}x \) în \( 6x + 4y = 720 \):\[ 6x + \cancel{4} \cdot \frac{3}{\cancel{4}}x = 720 \]\[ 6x + 3x = 720 \]\[ 9x = 720 \Rightarrow x = 720 : 9 = 80 \text{ lei} \]Aflăm \( y \):\[ y = \frac{3}{\cancel{4}_1} \cdot \cancel{80}^{20} = 60 \text{ lei} \]Prețul unui bilet pentru adulți este de 80 lei, iar cel pentru copii este de 60 lei.
Rezolvare detaliată
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi metode algebrice, notând prețurile biletelor cu variabile și formând ecuații bazate pe datele furnizate.
Pasul 1: Stabilirea necunoscutelor
Fie \( x \) prețul unui bilet pentru adulți și \( y \) prețul unui bilet pentru copii. Deoarece prețurile sunt exprimate în bani, avem \( x, y \in (0, +\infty) \).Pasul 2: Scrierea sistemului de ecuații
Din textul problemei extragem următoarele informații: 1. Alexandra cumpără 6 bilete pentru adulți și 4 pentru copii, plătind 720 lei: \[ 6x + 4y = 720 \] 2. Prețul unui bilet pentru copii este 75% din prețul biletului pentru adulți: \[ y = 75\% \cdot x = \frac{75}{100} \cdot x = \frac{\cancel{75}^3}{\cancel{100}_4} \cdot x = \frac{3}{4}x \]a) Este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie de 25 de lei? Justifică răspunsul dat.
Pasul 3: Verificarea ipotezei
Dacă \( y = 25 \) lei, atunci folosim a doua relație pentru a afla cât ar trebui să fie \( x \): \[ 25 = \frac{3}{4}x \Rightarrow x = \frac{25 \cdot 4}{3} = \frac{100}{3} \text{ lei} \] Acum verificăm dacă aceste valori respectă prima ecuație (suma totală): \[ 6 \cdot \frac{100}{\cancel{3}_1} + 4 \cdot 25 = 2 \cdot 100 + 100 = 200 + 100 = 300 \text{ lei} \] Deoarece \( 300 \neq 720 \), rezultă că **nu este posibil** ca prețul unui bilet pentru copii să fie de 25 de lei.b) Determină prețul unui bilet pentru adulți și prețul unui bilet pentru copii.
Pasul 4: Rezolvarea sistemului prin metoda substituției
Avem sistemul: \[ \begin{cases} 6x + 4y = 720 \\ y = \frac{3}{4}x \end{cases} \] Înlocuim pe \( y \) în prima ecuație: \[ 6x + \cancel{4}^1 \cdot \frac{3}{\cancel{4}_1}x = 720 \] \[ 6x + 3x = 720 \] \[ 9x = 720 \] \[ x = 720 : 9 = 80 \text{ lei (prețul unui bilet pentru adulți)} \]Pasul 5: Calcularea prețului biletului pentru copii
Acum aflăm valoarea lui \( y \) folosind \( x = 80 \): \[ y = \frac{3}{\cancel{4}_1} \cdot \cancel{80}^{20} = 3 \cdot 20 = 60 \text{ lei} \]Pasul 6: Verificarea finală
\( 6 \cdot 80 + 4 \cdot 60 = 480 + 240 = 720 \). (Adevărat) \( 60 = 75\% \cdot 80 = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60 \). (Adevărat)Rezolvare scurtă:
\( x \) = preț adult, \( y \) = preț copil.
\( 6x + 4y = 720 \) și \( y = \frac{3}{4}x \).
a) \( y = 25 \Rightarrow x = \frac{100}{3} \). \( 6 \cdot \frac{100}{3} + 4 \cdot 25 = 200 + 100 = 300 \neq 720 \). Nu.
b) \( 6x + 4 \cdot \frac{3}{4}x = 720 \Rightarrow 9x = 720 \Rightarrow x = 80 \) lei.
\( y = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60 \) lei.
