Cele mai importante aspecte ale lecției
Perimetrul (\(\mathcal{P}\)) este suma tuturor laturilor unui poligon, iar Aria (\(\mathcal{A}\)) reprezintă măsura suprafeței acestuia.
Formule esențiale:
Formule esențiale:
- Triunghi: \(\mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}\) (pentru triunghiul dreptunghic: \(\mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}\))
- Paralelogram: \(\mathcal{A} = b \cdot h\)
- Romb: \(\mathcal{A} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\)
- Trapez: \(\mathcal{A} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}\)
Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale.
Aria unei suprafețe poligonale este un număr pozitiv unic care arată câte unități de măsură are suprafața respectivă (ex. \(m^2\), \(cm^2\)). Se notează cu \(\mathcal{A}\).
Proprietăți fundamentale ale ariei:
- Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci ariile lor sunt egale.
- Dacă o suprafață se descompune în mai multe suprafețe cu interioarele disjuncte (care nu se suprapun), aria totală este egală cu suma ariilor suprafețelor componente.
Aria unei suprafețe pătrate este pătratul lungimii laturii sale: \(\mathcal{A}_{p\breve{a}trat} = l^2\). Dacă un pătrat are latura de 5 cm, aria sa este \(5^2 = 25 \text{ cm}^2\).
Într-un triunghi, înălțimea este perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura opusă (numită bază).
Aria unui triunghi oarecare este semiprodusul dintre lungimea unei laturi (baza) și lungimea înălțimii corespunzătoare:
\[ \mathcal{A}_{triunghi} = \frac{b \cdot h}{2} \]
Aria unui triunghi nu depinde de alegerea laturii considerate ca bază și a înălțimii corespunzătoare. Calculând aria folosind oricare dintre cele 3 baze și înălțimile lor, rezultatul va fi același.
Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul lungimilor catetelor (deoarece o catetă este baza, iar cealaltă catetă este înălțimea):
\[ \mathcal{A}_{triunghi\_dr.} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} \]
Calculați aria unui triunghi dreptunghic care are catetele de 6 cm și 8 cm.
Folosim formula pentru triunghiul dreptunghic: \(\mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}\)
\(\mathcal{A} = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2\).
\(\mathcal{A} = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2\).
Înălțimea unui paralelogram este segmentul determinat de un punct al unei laturi și piciorul perpendicularei din acel punct pe latura opusă (reprezintă distanța dintre două laturi paralele).
Aria paralelogramului este produsul dintre lungimea unei laturi (baza) și lungimea înălțimii corespunzătoare:
\[ \mathcal{A}_{paralelogram} = b \cdot h \]
Aria rombului este semiprodusul lungimilor diagonalelor sale (\(d_1\) și \(d_2\)):
\[ \mathcal{A}_{romb} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
Observație: Deoarece rombul este un paralelogram particular, aria sa poate fi calculată și cu formula paralelogramului (\(b \cdot h\)), dacă se cunosc latura și înălțimea.
Un romb are diagonalele de 10 cm și 12 cm. Calculați aria sa.
Aplicăm formula cu diagonale: \(\mathcal{A}_{romb} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\).
\(\mathcal{A} = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
\(\mathcal{A} = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
Înălțimea unui trapez este distanța dintre cele două baze (segmentul perpendicular dus de pe o bază pe cealaltă). Notăm baza mare cu \(B\) și baza mică cu \(b\).
Aria trapezului este produsul dintre semisuma lungimilor bazelor și înălțimea trapezului:
\[ \mathcal{A}_{trapez} = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \]
Fie un trapez cu baza mare \(B = 14 \text{ cm}\), baza mică \(b = 6 \text{ cm}\) și înălțimea \(h = 5 \text{ cm}\).
\(\mathcal{A}_{trapez} = \frac{(14 + 6) \cdot 5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}^2\).
\(\mathcal{A}_{trapez} = \frac{(14 + 6) \cdot 5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}^2\).
Probleme de antrenament
Ușoară: Un paralelogram are o latură de 15 cm și înălțimea corespunzătoare ei de 8 cm. Calculați aria paralelogramului.
Folosim formula ariei paralelogramului: \(\mathcal{A} = b \cdot h\).
\(\mathcal{A} = 15 \cdot 8 = 120 \text{ cm}^2\).
\(\mathcal{A} = 15 \cdot 8 = 120 \text{ cm}^2\).
Medie: Aria unui triunghi este de \(42 \text{ cm}^2\), iar lungimea uneia dintre laturile sale este de 12 cm. Calculați înălțimea corespunzătoare acestei laturi.
Cunoaștem formula: \(\mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}\).
Înlocuim valorile cunoscute: \(42 = \frac{12 \cdot h}{2}\).
Simplificăm: \(42 = 6 \cdot h \Rightarrow h = 42 : 6 \Rightarrow h = 7 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea este de 7 cm.
Înlocuim valorile cunoscute: \(42 = \frac{12 \cdot h}{2}\).
Simplificăm: \(42 = 6 \cdot h \Rightarrow h = 42 : 6 \Rightarrow h = 7 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea este de 7 cm.
Dificilă: Un dreptunghi are aria de \(96 \text{ cm}^2\) și lățimea de 6 cm. Calculați perimetrul acestui dreptunghi, iar apoi perimetrul unui romb ale cărui diagonale sunt egale cu lungimea, respectiv lățimea dreptunghiului.
Pasul 1: Aflăm lungimea dreptunghiului.
\(\mathcal{A}_{dreptunghi} = L \cdot l \Rightarrow 96 = L \cdot 6 \Rightarrow L = 16 \text{ cm}\).
Perimetrul dreptunghiului = \(2 \cdot (L + l) = 2 \cdot (16 + 6) = 2 \cdot 22 = 44 \text{ cm}\).
Pasul 2: Rombul are diagonalele \(d_1 = 16 \text{ cm}\) și \(d_2 = 6 \text{ cm}\).
Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Se formează 4 triunghiuri dreptunghice cu catetele de \(\frac{16}{2} = 8 \text{ cm}\) și \(\frac{6}{2} = 3 \text{ cm}\).
Calculăm latura rombului (\(l\)) folosind Teorema lui Pitagora:
\(l^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \Rightarrow l = \sqrt{73} \text{ cm}\).
Perimetrul rombului = \(4 \cdot l = 4\sqrt{73} \text{ cm}\).
\(\mathcal{A}_{dreptunghi} = L \cdot l \Rightarrow 96 = L \cdot 6 \Rightarrow L = 16 \text{ cm}\).
Perimetrul dreptunghiului = \(2 \cdot (L + l) = 2 \cdot (16 + 6) = 2 \cdot 22 = 44 \text{ cm}\).
Pasul 2: Rombul are diagonalele \(d_1 = 16 \text{ cm}\) și \(d_2 = 6 \text{ cm}\).
Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Se formează 4 triunghiuri dreptunghice cu catetele de \(\frac{16}{2} = 8 \text{ cm}\) și \(\frac{6}{2} = 3 \text{ cm}\).
Calculăm latura rombului (\(l\)) folosind Teorema lui Pitagora:
\(l^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \Rightarrow l = \sqrt{73} \text{ cm}\).
Perimetrul rombului = \(4 \cdot l = 4\sqrt{73} \text{ cm}\).
