Cele mai importante aspecte ale lecției
Calculul distanței: Lungimea unui segment se află cu formula \( MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). Exemplu pentru \( (0,0) \) și \( (3,4) \): distanța este \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).
Calculul mijlocului: Coordonatele mijlocului se obțin calculând media capetelor: \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \), \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \).
Utilitate practică: Aceste instrumente algebrice ne permit să rezolvăm probleme de geometrie pură în planul de coordonate (verificarea tipului unui triunghi, demonstrarea coliniarității, determinarea formei ecuației unui cerc).
Calculul mijlocului: Coordonatele mijlocului se obțin calculând media capetelor: \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \), \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \).
Utilitate practică: Aceste instrumente algebrice ne permit să rezolvăm probleme de geometrie pură în planul de coordonate (verificarea tipului unui triunghi, demonstrarea coliniarității, determinarea formei ecuației unui cerc).
Distanța (sau lungimea segmentului) dintre două puncte \( M(x_1, y_1) \) și \( N(x_2, y_2) \) se obține aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de proiecțiile punctelor pe axele de coordonate.
\[ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Cazuri particulare:
- Dacă punctele sunt pe axa \( Ox \) (axa absciselor), au ordonatele nule: \( P(x_1, 0) \) și \( Q(x_2, 0) \). Distanța este \( PQ = |x_2 - x_1| \).
- Dacă punctele sunt pe axa \( Oy \) (axa ordonatelor), au abscisele nule: \( P(0, y_1) \) și \( Q(0, y_2) \). Distanța este \( PQ = |y_2 - y_1| \).
Calculați distanța dintre punctele \( A(1, 2) \) și \( B(4, 6) \).
Aplicăm formula generală a distanței:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Coordonatele mijlocului unui segment determinat de două puncte din plan sunt egale cu mediile aritmetice ale coordonatelor celor două puncte (capetele segmentului).
Dacă \( M(x, y) \) este mijlocul segmentului \( AB \), unde \( A(x_1, y_1) \) și \( B(x_2, y_2) \), atunci:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{și} \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Aflați coordonatele mijlocului \( M \) al segmentului \( AB \), știind că \( A(-2, 4) \) și \( B(6, -2) \).
Calculăm media aritmetică a absciselor și a ordonatelor:
\( x = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Răspuns: Punctul de mijloc are coordonatele \( M(2, 1) \).
\( x = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Răspuns: Punctul de mijloc are coordonatele \( M(2, 1) \).
Folosind formula distanței dintre două puncte, putem exprima algebric mulțimi de puncte care respectă o anumită condiție geometrică. O distanță constantă față de un punct fix definește un cerc.
Fie punctul \( P(1, 0) \). Dorim să scriem relația pentru mulțimea punctelor \( Q(x, y) \) aflate la distanța de \( 3 \) unități față de \( P \). Această mulțime reprezintă un cerc.
Condiția este \( PQ = 3 \). Scriind matematic folosind formula distanței: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = 3 \] Ridicând la pătrat, obținem: \[ (x - 1)^2 + y^2 = 9 \]
Condiția este \( PQ = 3 \). Scriind matematic folosind formula distanței: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = 3 \] Ridicând la pătrat, obținem: \[ (x - 1)^2 + y^2 = 9 \]
Probleme de antrenament
Nivel ușor: Calculați lungimea segmentului determinat de punctele \( A(0, 3) \) și \( B(0, -4) \).
Deoarece ambele puncte se află pe axa ordonatelor \( Oy \) (abscisele sunt 0), putem aplica formula cazului particular:
\[ AB = |y_2 - y_1| = |-4 - 3| = |-7| = 7 \]
Alternativ, folosind formula generală:
\[ AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{0 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7 \]
Nivel mediu: Punctul \( M(1, 2) \) este mijlocul segmentului \( AB \). Dacă se cunosc coordonatele punctului \( A(-3, 5) \), determinați coordonatele punctului \( B \).
Fie \( B(x_B, y_B) \). Ne folosim de formulele pentru coordonatele mijlocului:
\( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-3 + x_B}{2} \Rightarrow 2 = -3 + x_B \Rightarrow x_B = 5 \)
\( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow 2 = \frac{5 + y_B}{2} \Rightarrow 4 = 5 + y_B \Rightarrow y_B = -1 \)
Răspuns: Punctul are coordonatele \( B(5, -1) \).
\( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-3 + x_B}{2} \Rightarrow 2 = -3 + x_B \Rightarrow x_B = 5 \)
\( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow 2 = \frac{5 + y_B}{2} \Rightarrow 4 = 5 + y_B \Rightarrow y_B = -1 \)
Răspuns: Punctul are coordonatele \( B(5, -1) \).
Nivel dificil: Demonstrați că punctele \( A(-2, -3) \), \( B(0, 1) \) și \( C(1, 3) \) sunt coliniare, calculând distanțele dintre ele.
(Indicație: Trei puncte sunt coliniare dacă distanța cea mai mare este egală cu suma celorlalte două distanțe).
Calculăm lungimile segmentelor \( AB, BC \) și \( AC \):
\( AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
Observăm că suma distanțelor mai mici este: \( AB + BC = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \).
Deoarece \( AB + BC = AC \), rezultă că punctele \( A, B \) și \( C \) se află pe aceeași dreaptă (sunt coliniare), punctul \( B \) situându-se între \( A \) și \( C \).
\( AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
Observăm că suma distanțelor mai mici este: \( AB + BC = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \).
Deoarece \( AB + BC = AC \), rezultă că punctele \( A, B \) și \( C \) se află pe aceeași dreaptă (sunt coliniare), punctul \( B \) situându-se între \( A \) și \( C \).
