Cele mai importante aspecte ale lecției
Egalitățile pot fi modificate fără a li se schimba valoarea de adevăr (obținând egalități echivalente) prin adunarea/scăderea aceluiași număr din ambii membri sau prin înmulțirea/împărțirea cu un număr nenul. O consecință practică foarte utilă este posibilitatea mutării unui termen dintr-o parte în alta a egalității, schimbându-i semnul.
Când o egalitate formată din expresii cu variabile se verifică pentru absolut orice valoare atribuită acelor variabile (de exemplu \( a \cdot 0 = 0 \)), aceasta se numește identitate.
Când o egalitate formată din expresii cu variabile se verifică pentru absolut orice valoare atribuită acelor variabile (de exemplu \( a \cdot 0 = 0 \)), aceasta se numește identitate.
Într-o egalitate, partea scrisă în stânga semnului „\( = \)” se numește membrul stâng (sau membrul I), iar partea scrisă în dreapta se numește membrul drept (sau membrul II).
Relația de egalitate pe mulțimea numerelor reale are următoarele proprietăți fundamentale:
- Reflexivitatea: Oricare ar fi \( a \in \mathbb{R} \), \( a = a \).
- Simetria: Oricare ar fi \( a, b \in \mathbb{R} \), dacă \( a = b \), atunci \( b = a \).
- Tranzitivitatea: Oricare ar fi \( a, b, c \in \mathbb{R} \), dacă \( a = b \) și \( b = c \), atunci \( a = c \).
Egalitatea și operațiile matematice:
Dacă \( a = b \), oricare ar fi \( c \in \mathbb{R} \), au loc relațiile:
Dacă \( a = b \), oricare ar fi \( c \in \mathbb{R} \), au loc relațiile:
- \( a + c = b + c \) (se poate aduna același număr la ambii membri)
- \( a - c = b - c \) (se poate scădea același număr din ambii membri)
- \( a \cdot c = b \cdot c \) (se pot înmulți ambii membri cu același număr)
- \( a : c = b : c \), pentru \( c \neq 0 \) (se pot împărți ambii membri la același număr nenul)
Două egalități sunt egalități echivalente dacă fiecare se poate obține una din cealaltă prin transformări matematice permise.
Se pot obține egalități echivalente aplicând următoarele reguli de transformare:
Dacă se adună sau se scade același număr din fiecare membru al unei egalități, se obține o egalitate echivalentă.
Dacă se înmulțește sau se împarte fiecare membru cu același număr diferit de 0, se obține o egalitate echivalentă.
Trecerea unui termen dintr-un membru în altul, cu semn schimbat, generează o egalitate echivalentă: \( a + b = c \Leftrightarrow a = c - b \).
Dacă cei doi membri ai unei egalități sunt numere pozitive, se pot obține egalități echivalente și astfel:
- Se ridică la puterea \( n \) ambii membri (unde \( n \) este număr întreg).
- Se extrage radicalul din ambii membri.
Exemplu de rezolvare prin transformări succesive:
Se cere determinarea numerelor reale \( x \) pentru care \( 3x^2 - 10 = 2 - x^2 \).
Se cere determinarea numerelor reale \( x \) pentru care \( 3x^2 - 10 = 2 - x^2 \).
- Adunăm \( x^2 \) în ambii membri: \( 4x^2 - 10 = 2 \)
- Adunăm \( 10 \) în ambii membri: \( 4x^2 = 12 \)
- Împărțim la \( 4 \) ambii membri: \( x^2 = 3 \)
- Extragem rădăcina pătrată: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{3} \Rightarrow |x| = \sqrt{3} \)
- Rezultă soluțiile: \( x = \sqrt{3} \) sau \( x = -\sqrt{3} \)
O expresie matematică este formată din numere și variabile (litere care pot fi înlocuite cu numere), legate prin operații matematice.
Numim identitate egalitatea a două expresii care conține una sau mai multe variabile și care este adevărată oricare ar fi înlocuirea variabilelor cu elemente dintr-o mulțime dată de numere.
Exemple de identități:
- \( \sqrt{x^2} = |x| \), pentru orice \( x \in \mathbb{R} \)
- \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \), pentru orice \( a, b, c \in \mathbb{R} \)
- \( 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n + 1) \), pentru orice \( n \in \mathbb{N} \)
Pentru a demonstra că o egalitate dată este o identitate, se prelucrează membrii acesteia aplicând reguli de calcul cunoscute (distributivitate, reducerea termenilor asemenea, etc.) până când se ajunge la aceeași formă matematică în ambii membri.
Exerciții de antrenament
Ușoară: Verificați dacă egalitățile \( x - 7 = 3 \) și \( x = 10 \) sunt echivalente.
Pornind de la egalitatea \( x - 7 = 3 \), aplicăm regula trecerii unui termen în celălalt membru cu semn schimbat.
Trecem pe \( -7 \) în membrul drept: \( x = 3 + 7 \).
Obținem \( x = 10 \).
Prin urmare, da, cele două egalități sunt echivalente deoarece s-au obținut una din cealaltă prin transformări permise.
Trecem pe \( -7 \) în membrul drept: \( x = 3 + 7 \).
Obținem \( x = 10 \).
Prin urmare, da, cele două egalități sunt echivalente deoarece s-au obținut una din cealaltă prin transformări permise.
Medie: Folosind transformări echivalente, determinați valoarea lui \( x \in \mathbb{R} \) din egalitatea: \( \frac{5x - 2}{3} = 6 \).
Aplicăm transformări succesive la ambii membri:
1. Înmulțim egalitatea cu 3: \( 5x - 2 = 18 \)
2. Adunăm 2 în ambii membri (sau trecem pe -2 în dreapta cu semn schimbat): \( 5x = 18 + 2 \Rightarrow 5x = 20 \)
3. Împărțim egalitatea la 5: \( x = 4 \)
Numărul căutat este \( x = 4 \).
1. Înmulțim egalitatea cu 3: \( 5x - 2 = 18 \)
2. Adunăm 2 în ambii membri (sau trecem pe -2 în dreapta cu semn schimbat): \( 5x = 18 + 2 \Rightarrow 5x = 20 \)
3. Împărțim egalitatea la 5: \( x = 4 \)
Numărul căutat este \( x = 4 \).
Medie-Dificilă: Determinați numerele reale \( y \) pentru care \( 5y^2 + 7 = 2y^2 + 34 \).
Grupăm termenii asemenea trecându-i dintr-un membru în altul cu semn schimbat:
\( 5y^2 - 2y^2 = 34 - 7 \)
\( 3y^2 = 27 \)
Împărțim ambii membri la 3:
\( y^2 = 9 \)
Extragem rădăcina pătrată din ambii membri:
\( \sqrt{y^2} = \sqrt{9} \Rightarrow |y| = 3 \)
Deci, \( y = 3 \) sau \( y = -3 \).
\( 5y^2 - 2y^2 = 34 - 7 \)
\( 3y^2 = 27 \)
Împărțim ambii membri la 3:
\( y^2 = 9 \)
Extragem rădăcina pătrată din ambii membri:
\( \sqrt{y^2} = \sqrt{9} \Rightarrow |y| = 3 \)
Deci, \( y = 3 \) sau \( y = -3 \).
Dificilă: Demonstrați că următoarea egalitate este o identitate pentru orice \( x \in \mathbb{R} \):
\[ (x + 3)(x - 1) + 3 = x(x + 2) \]
Pentru a demonstra identitatea, calculăm expresiile din ambii membri separat, pentru a ajunge la aceeași formă.
Membrul stâng: \( (x + 3)(x - 1) + 3 = x^2 - x + 3x - 3 + 3 = x^2 + 2x \)
Membrul drept: \( x(x + 2) = x^2 + 2x \)
Deoarece ambele părți au fost reduse la expresia \( x^2 + 2x \), egalitatea este întotdeauna adevărată, deci reprezintă o identitate pe \( \mathbb{R} \).
Membrul stâng: \( (x + 3)(x - 1) + 3 = x^2 - x + 3x - 3 + 3 = x^2 + 2x \)
Membrul drept: \( x(x + 2) = x^2 + 2x \)
Deoarece ambele părți au fost reduse la expresia \( x^2 + 2x \), egalitatea este întotdeauna adevărată, deci reprezintă o identitate pe \( \mathbb{R} \).
