Cele mai importante aspecte ale lecției
Prelucrarea radicalilor: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\) și invers \(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\).
Înmulțire/Împărțire: Se efectuează grupând termenii de același tip: \(b\sqrt{m} \cdot c\sqrt{p} = (bc)\sqrt{mp}\).
Adunare/Scădere: Se pot face doar între termeni asemenea (același radical): \(2\sqrt{x} + 5\sqrt{x} = 7\sqrt{x}\).
Raționalizare: Se înmulțește fracția de tipul \(\frac{1}{\sqrt{b}}\) cu \(\sqrt{b}\).
Puteri și Modul: \((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\) ; \(\sqrt{x^2} = |x|\). Se respectă ordinea clasică a efectuării operațiilor.
Înmulțire/Împărțire: Se efectuează grupând termenii de același tip: \(b\sqrt{m} \cdot c\sqrt{p} = (bc)\sqrt{mp}\).
Adunare/Scădere: Se pot face doar între termeni asemenea (același radical): \(2\sqrt{x} + 5\sqrt{x} = 7\sqrt{x}\).
Raționalizare: Se înmulțește fracția de tipul \(\frac{1}{\sqrt{b}}\) cu \(\sqrt{b}\).
Puteri și Modul: \((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\) ; \(\sqrt{x^2} = |x|\). Se respectă ordinea clasică a efectuării operațiilor.
Operațiile de înmulțire și împărțire a radicalilor permit gruparea sau separarea factorilor sub același radical, cu condiția ca numerele să fie pozitive.
Produsul radicalilor: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (unde \(a, b \ge 0\))
Câtul radicalilor: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (unde \(a \ge 0, b > 0\))
Câtul radicalilor: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (unde \(a \ge 0, b > 0\))
Scoaterea și introducerea factorilor sub radical:
Scoatere: \(\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\)
Introducere: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\) (pentru \(a, b \ge 0\))
Scoatere: \(\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\)
Introducere: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\) (pentru \(a, b \ge 0\))
Calcul: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6\)
Scoatere factor: \(\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}\)
Introducere factor: \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
Scoatere factor: \(\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}\)
Introducere factor: \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
Efectuați calculul introducând factorii sub radical: \(2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}\).
\(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)
\(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)
Raționalizarea numitorului este operația prin care se elimină radicalul de la numitorul unei fracții, facilitând astfel calculele ulterioare.
O fracție de forma \(\frac{c}{a\sqrt{b}}\) se raționalizează prin amplificarea (înmulțirea numărătorului și numitorului) cu \(\sqrt{b}\).
\[ \frac{1}{a\sqrt{b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{b}}{a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{a \cdot b} \]
\(\frac{7\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{18}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{7\sqrt{2}}{2}\)
Raționalizați numitorul și simplificați: \(\frac{12}{5\sqrt{6}}\).
Amplificăm cu \(\sqrt{6}\):
\(\frac{12\sqrt{6}}{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{5 \cdot 6} = \frac{12\sqrt{6}}{30}\).
Simplificăm prin 6 și obținem: \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\).
\(\frac{12\sqrt{6}}{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{5 \cdot 6} = \frac{12\sqrt{6}}{30}\).
Simplificăm prin 6 și obținem: \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\).
Adunarea și scăderea numerelor iraționale se efectuează prin restrângerea termenilor asemenea (cei care au exact același radical). Scăderea se definește ca adunarea cu opusul numărului: \(a - b = a + (-b)\).
\[ p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p + q)\sqrt{n} \]
Radicalul unei sume sau diferențe NU este egal cu suma/diferența radicalilor!
\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
\(\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}\)
\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
\(\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}\)
Calcul: \(5\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + \sqrt{7} = (5 - 3 + 1)\sqrt{7} = 3\sqrt{7}\)
Calculați: \(\sqrt{50} + \sqrt{18} - 2\sqrt{2}\).
Scoatem factorii de sub radical pentru a obține termeni asemenea:
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
Înlocuim: \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (5 + 3 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
Înlocuim: \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (5 + 3 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Înmulțirea și împărțirea se aplică independent pe coeficienți (numerele din fața radicalului) și pe radicali.
\(b\sqrt{m} \cdot c\sqrt{p} = (b \cdot c)\sqrt{m \cdot p}\)
Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere: \(a(b \pm c) = ab \pm ac\).
Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere: \(a(b \pm c) = ab \pm ac\).
Înmulțire: \(2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = (2 \cdot 4)\sqrt{3 \cdot 5} = 8\sqrt{15}\)
Împărțire: \(15\sqrt{10} : 3\sqrt{2} = (15 : 3)\sqrt{10 : 2} = 5\sqrt{5}\)
Distributivitate: \(\sqrt{2}(\sqrt{8} + \sqrt{3}) = \sqrt{16} + \sqrt{6} = 4 + \sqrt{6}\)
Împărțire: \(15\sqrt{10} : 3\sqrt{2} = (15 : 3)\sqrt{10 : 2} = 5\sqrt{5}\)
Distributivitate: \(\sqrt{2}(\sqrt{8} + \sqrt{3}) = \sqrt{16} + \sqrt{6} = 4 + \sqrt{6}\)
Efectuați calculul: \((4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{2}) : 2\sqrt{5}\).
Mai întâi înmulțim: \(4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{30}\).
Apoi împărțim: \(8\sqrt{30} : 2\sqrt{5} = (8:2)\sqrt{30:5} = 4\sqrt{6}\).
Apoi împărțim: \(8\sqrt{30} : 2\sqrt{5} = (8:2)\sqrt{30:5} = 4\sqrt{6}\).
Regulile de calcul cu puteri de la numere raționale se mențin și în mulțimea numerelor reale.
\( (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} \)
\( (x\sqrt{a})^n = x^n(\sqrt{a})^n \)
\( (\sqrt{a})^{-n} = \frac{1}{(\sqrt{a})^n} \) (unde \(a > 0\))
\( (\sqrt{a})^2 = a \)
\( (x\sqrt{a})^n = x^n(\sqrt{a})^n \)
\( (\sqrt{a})^{-n} = \frac{1}{(\sqrt{a})^n} \) (unde \(a > 0\))
\( (\sqrt{a})^2 = a \)
Ordinea operațiilor:
1. Parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade).
2. Ridicările la putere / Extragerea rădăcinii pătrate.
3. Înmulțirile și împărțirile (în ordinea din exercițiu).
4. Adunările și scăderile.
1. Parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade).
2. Ridicările la putere / Extragerea rădăcinii pătrate.
3. Înmulțirile și împărțirile (în ordinea din exercițiu).
4. Adunările și scăderile.
Calcul putere: \((2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot \sqrt{27} = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\).
Putere negativă: \((\sqrt{2})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{2})^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\).
Putere negativă: \((\sqrt{2})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{2})^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\).
Opusul unui număr \(x\) este \(-x\). Suma lor este 0.
Inversul unui număr \(x\) (\(x \neq 0\)) este \(\frac{1}{x}\) (sau \(x^{-1}\)). Produsul lor este 1.
Extragerea radicalului dintr-un pătrat perfect duce la obținerea modulului acelui număr.
\[ \sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases} \]
Opusul lui \(2-\sqrt{3}\) este \(-(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2\).
\(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |1-\sqrt{2}|\). Deoarece \(1 < \sqrt{2}\), valoarea din modul este negativă, deci se ia opusul: \(\sqrt{2}-1\).
\(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |1-\sqrt{2}|\). Deoarece \(1 < \sqrt{2}\), valoarea din modul este negativă, deci se ia opusul: \(\sqrt{2}-1\).
Probleme de practică
Ușoară: Raționalizați și calculați: \(\frac{14}{\sqrt{7}} - \sqrt{28}\).
1. Raționalizăm fracția amplificând cu \(\sqrt{7}\):
\(\frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}\).
2. Scoatem factorul de sub al doilea radical:
\(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\).
3. Calculăm diferența:
\(2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 0\).
\(\frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}\).
2. Scoatem factorul de sub al doilea radical:
\(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\).
3. Calculăm diferența:
\(2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 0\).
Medie: Calculați respectând ordinea operațiilor: \(\left( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} + \sqrt{75} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\).
1. Efectuăm împărțirea din paranteză: \(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
2. Scoatem factorii: \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\).
3. Calculăm suma din paranteză: \(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\).
4. Efectuăm înmulțirea: \(7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 7\).
2. Scoatem factorii: \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\).
3. Calculăm suma din paranteză: \(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\).
4. Efectuăm înmulțirea: \(7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 7\).
Dificilă: Aduceți la forma cea mai simplă expresia: \((-\sqrt{3})^4 - \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} + \frac{6}{\sqrt{3}}\).
1. Calculăm puterea: \((-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^4 = \sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9\).
2. Aplicăm formula modulului: \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2|\). Deoarece \(\sqrt{3} < 2\) (adică \(1,73 < 2\)), numărul este negativ, deci modulul este \(2 - \sqrt{3}\).
3. Raționalizăm fracția: \(\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
4. Asamblăm și calculăm: \(9 - (2 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 9 - 2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7 + 3\sqrt{3}\).
2. Aplicăm formula modulului: \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2|\). Deoarece \(\sqrt{3} < 2\) (adică \(1,73 < 2\)), numărul este negativ, deci modulul este \(2 - \sqrt{3}\).
3. Raționalizăm fracția: \(\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
4. Asamblăm și calculăm: \(9 - (2 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 9 - 2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7 + 3\sqrt{3}\).
