Cele mai importante aspecte ale lecției
- Definiție: Modulul \( |x| \) reprezintă distanța pe axă de la origine la punctul \( x \). Nu poate fi niciodată negativ (\( |x| \geq 0 \)).
- Calcul: \( |x| = x \) (pentru numere pozitive), \( 0 \) (pentru zero) și \( -x \) (pentru numere negative). Ex: \( |-7| = 7 \).
- Regulă de aur sub radical: \( \sqrt{a^2} = |a| \). A nu se uita modulul la simplificarea pătratelor perfecte!
- Introducerea sub radical: Factorii negativi lasă semnul minus în afara radicalului (\( -2\sqrt{3} = -\sqrt{4 \cdot 3} \)).
Modulul unui număr real este egal cu distanța, pe axa numerelor, de la originea axei (O) la punctul de reprezentare a acelui număr.
Se notează cu \( |x| \). Dacă \( M \) este reprezentarea pe axă a numărului \( x \), atunci \( |x| = |OM| \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x > 0 \\ 0, & \text{dacă } x = 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases} \]
Modulul unui număr negativ este egal cu opusul numărului respectiv. Modulul unui număr este cu atât mai mare cu cât distanța de la origine la punctul de reprezentare este mai mare.
\( |-\sqrt{11}| = -(-\sqrt{11}) = \sqrt{11} \)
\( |-\sqrt{16}| > |-\sqrt{9}| \), deoarece \( 4 > 3 \).
\( |-\sqrt{16}| > |-\sqrt{9}| \), deoarece \( 4 > 3 \).
Determină numerele reale \( x \) știind că \( |x| = \sqrt{11} \).
Deoarece distanța de la origine este \( \sqrt{11} \), numărul se poate afla fie în dreapta, fie în stânga originii.
Răspuns: Există două soluții distincte: \( x = \sqrt{11} \) și \( x = -\sqrt{11} \).
Răspuns: Există două soluții distincte: \( x = \sqrt{11} \) și \( x = -\sqrt{11} \).
Oricare ar fi numerele reale \( a \) și \( b \), modulul are următoarele proprietăți fundamentale:
- \( |a| \geq 0 \) (modulul este mereu pozitiv sau zero)
- \( |a| = 0 \) dacă și numai dacă \( a = 0 \)
- \( |a| = |-a| \) (numerele opuse au același modul)
- \( |a|^2 = a^2 \)
- \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \) (modulul produsului)
- \( \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} \), pentru \( b \neq 0 \) (modulul raportului)
Folosind proprietatea produsului: \( |-3 \cdot \sqrt{5}| = |-3| \cdot |\sqrt{5}| = 3\sqrt{5} \).
Scoaterea unui factor de sub radical:
Radicalul pătratului unui număr real este egal cu modulul acelui număr.
\( \sqrt{a^2} = |a| \), oricare ar fi \( a \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \), oricare ar fi \( a, b \in \mathbb{R}, b \geq 0 \)
Radicalul pătratului unui număr real este egal cu modulul acelui număr.
\( \sqrt{a^2} = |a| \), oricare ar fi \( a \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \), oricare ar fi \( a, b \in \mathbb{R}, b \geq 0 \)
Introducerea unui factor sub radical:
La introducerea sub radical, se analizează semnul factorului din fața radicalului: \[ a\sqrt{b} = \begin{cases} \sqrt{a^2b}, & \text{dacă } a \geq 0, b \geq 0 \\ -\sqrt{a^2b}, & \text{dacă } a < 0, b \geq 0 \end{cases} \]
La introducerea sub radical, se analizează semnul factorului din fața radicalului: \[ a\sqrt{b} = \begin{cases} \sqrt{a^2b}, & \text{dacă } a \geq 0, b \geq 0 \\ -\sqrt{a^2b}, & \text{dacă } a < 0, b \geq 0 \end{cases} \]
Scoatere: \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
Introducere (factor negativ): \( -3\sqrt{2} = -\sqrt{(-3)^2 \cdot 2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18} \).
Introducere (factor negativ): \( -3\sqrt{2} = -\sqrt{(-3)^2 \cdot 2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18} \).
Scoateți factorii de sub radical pentru expresia \( \sqrt{x^2 \cdot 7} \), știind că \( x < 0 \).
Conform regulii, \( \sqrt{x^2 \cdot 7} = |x|\sqrt{7} \).
Deoarece ni se dă condiția \( x < 0 \), modulul său va fi opusul său: \( |x| = -x \).
Răspuns: \( -x\sqrt{7} \).
Deoarece ni se dă condiția \( x < 0 \), modulul său va fi opusul său: \( |x| = -x \).
Răspuns: \( -x\sqrt{7} \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Calculează valoarea expresiei: \( |-12| + \left|-\frac{2}{3}\right| - |3,25| \).
Aplicăm definiția modulului (care transformă numerele negative în pozitive, iar pe cele pozitive le păstrează):
\( 12 + \frac{2}{3} - 3,25 \)
Transformăm în fracții zecimale sau ordinare pentru a calcula ( \( 3,25 = \frac{13}{4} \) ):
\( 12 + \frac{2}{3} - \frac{13}{4} = \frac{144}{12} + \frac{8}{12} - \frac{39}{12} = \frac{113}{12} \).
\( 12 + \frac{2}{3} - 3,25 \)
Transformăm în fracții zecimale sau ordinare pentru a calcula ( \( 3,25 = \frac{13}{4} \) ):
\( 12 + \frac{2}{3} - \frac{13}{4} = \frac{144}{12} + \frac{8}{12} - \frac{39}{12} = \frac{113}{12} \).
Medie: Determină numerele reale \( x \) pentru care \( |-x| = \frac{2}{3} \).
Folosim proprietatea \( |-x| = |x| \). Ecuația devine \( |x| = \frac{2}{3} \).
Conform definiției, distanța este \( \frac{2}{3} \), deci numărul poate fi pozitiv sau negativ.
Răspuns: \( x = \frac{2}{3} \) sau \( x = -\frac{2}{3} \).
Conform definiției, distanța este \( \frac{2}{3} \), deci numărul poate fi pozitiv sau negativ.
Răspuns: \( x = \frac{2}{3} \) sau \( x = -\frac{2}{3} \).
Dificilă: Calculează valoarea expresiei \( |1 - x| - 2 + x \), știind că \( x < -5 \).
Mai întâi stabilim semnul expresiei din interiorul modulului: \( 1 - x \).
Deoarece \( x < -5 \) (ex. \( x = -6 \)), expresia \( 1 - x \) devine \( 1 - (-6) = 7 \), deci este un număr strict pozitiv (\( 1 - x > 0 \)).
Dacă o expresie este pozitivă, modulul ei este egal cu ea însăși: \( |1 - x| = 1 - x \).
Înlocuim în expresia inițială: \( (1 - x) - 2 + x = 1 - 2 - x + x = -1 \).
Răspuns: \( -1 \).
Deoarece \( x < -5 \) (ex. \( x = -6 \)), expresia \( 1 - x \) devine \( 1 - (-6) = 7 \), deci este un număr strict pozitiv (\( 1 - x > 0 \)).
Dacă o expresie este pozitivă, modulul ei este egal cu ea însăși: \( |1 - x| = 1 - x \).
Înlocuim în expresia inițială: \( (1 - x) - 2 + x = 1 - 2 - x + x = -1 \).
Răspuns: \( -1 \).
