Cele mai importante aspecte ale lecției
Acestea sunt conceptele cheie referitoare la elementele cercului:
• Unghiul înscris: Măsoară jumătate din arcul subîntins. Exemplu: Dacă arcul are \(80^\circ\), unghiul înscris are \(40^\circ\).
• Proprietăți ale coardelor: Coardele congruente subîntind arce egale. Un diametru perpendicular pe o coardă o împarte în două jumătăți egale.
• Tangente exterioare: Cele două tangente duse dintr-un punct exterior au lungimi egale până la punctul de contact (\(PA = PB\)), iar tangenta formează mereu unghi drept cu raza.
• Poligoane regulate: Se pot înscrie în cerc având centrul comun (la intersecția mediatoarelor). Unghiul la centru corespunzător unei laturi de hexagon regulat este \(360^\circ / 6 = 60^\circ\).
• Calcule (Lungime și Arie): Se bazează pe constanta \(\pi\). Pentru un cerc de rază \(r=10\), lungimea este \(20\pi\) și aria este \(100\pi\).
• Unghiul înscris: Măsoară jumătate din arcul subîntins. Exemplu: Dacă arcul are \(80^\circ\), unghiul înscris are \(40^\circ\).
• Proprietăți ale coardelor: Coardele congruente subîntind arce egale. Un diametru perpendicular pe o coardă o împarte în două jumătăți egale.
• Tangente exterioare: Cele două tangente duse dintr-un punct exterior au lungimi egale până la punctul de contact (\(PA = PB\)), iar tangenta formează mereu unghi drept cu raza.
• Poligoane regulate: Se pot înscrie în cerc având centrul comun (la intersecția mediatoarelor). Unghiul la centru corespunzător unei laturi de hexagon regulat este \(360^\circ / 6 = 60^\circ\).
• Calcule (Lungime și Arie): Se bazează pe constanta \(\pi\). Pentru un cerc de rază \(r=10\), lungimea este \(20\pi\) și aria este \(100\pi\).
Un unghi care are vârful pe cerc și ale cărui laturi sunt secante cercului se numește unghi înscris în cerc. Arcul cuprins între laturile unghiului se numește arc subîntins.
Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.
\[ m(\measuredangle ABC) = \frac{1}{2} m(\overset{\frown}{AC}) \]
Orice unghi înscris într-un semicerc (ale cărui laturi subîntind un diametru) este unghi drept (\(90^\circ\)).
Unghi cu vârful în interiorul cercului: Măsura sa este egală cu semisuma arcelor cuprinse între laturi și prelungirile laturilor.
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{1}{2} \left[ m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD}) \right] \]
Unghi cu vârful în exteriorul cercului: Măsura sa este egală cu modulul semidiferenței arcelor cuprinse între laturi.
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{1}{2} \left| m(\overset{\frown}{AB}) - m(\overset{\frown}{CD}) \right| \]
Arce și coarde congruente: Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc. (\(AB \equiv CD \iff \overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD}\))
Diametrul perpendicular: Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijloacele arcelor determinate de aceasta.
Coarde paralele: Dacă două coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente. (\(AB \parallel CD \implies \overset{\frown}{AC} \equiv \overset{\frown}{BD}\))
Distanța la centru: Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.
O tangentă la cerc este întotdeauna perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact.
Prin orice punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente. Segmentele determinate de acel punct exterior și punctele de tangență de pe cerc sunt congruente.
Dacă \(PA\) și \(PB\) sunt tangente la cerc (cu \(A\) și \(B\) puncte de tangență), atunci \(PA \equiv PB\).
Cercul înscris într-un triunghi: Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct \(I\). Acest punct coincide cu centrul cercului înscris în triunghi, fiind egal depărtat de laturile triunghiului (laturile devin tangente la acest cerc).
Un poligon care are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente se numește poligon regulat. Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc.
Pentru un poligon regulat cu \(n\) laturi înscris într-un cerc:
• Măsura unui arc de cerc determinat de o latură: \( \frac{360^\circ}{n} \)
• Măsura unui unghi interior al poligonului: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Suma măsurilor tuturor unghiurilor: \( (n - 2) \cdot 180^\circ \)
• Măsura unui arc de cerc determinat de o latură: \( \frac{360^\circ}{n} \)
• Măsura unui unghi interior al poligonului: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Suma măsurilor tuturor unghiurilor: \( (n - 2) \cdot 180^\circ \)
Centrul cercului circumscris unui poligon regulat se află la intersecția mediatoarelor laturilor și coincide cu punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor sale.
Exemple uzuale:
• Triunghi echilateral: \(n=3\), laturi egale, unghiuri de \(60^\circ\).
• Pătrat: \(n=4\), unghiuri de \(90^\circ\), centrul e intersecția diagonalelor.
• Hexagon regulat: \(n=6\), arcele mici au \(60^\circ\). Latura formează triunghiuri echilaterale cu centrul cercului.
• Triunghi echilateral: \(n=3\), laturi egale, unghiuri de \(60^\circ\).
• Pătrat: \(n=4\), unghiuri de \(90^\circ\), centrul e intersecția diagonalelor.
• Hexagon regulat: \(n=6\), arcele mici au \(60^\circ\). Latura formează triunghiuri echilaterale cu centrul cercului.
Fie un cerc de rază \(r\) și diametru \(d = 2r\).
• Lungimea (perimetrul) cercului: \( L_{cerc} = 2\pi r = \pi d \)
• Aria discului (cercului): \( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \)
• Lungimea (perimetrul) cercului: \( L_{cerc} = 2\pi r = \pi d \)
• Aria discului (cercului): \( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \)
Pentru o porțiune de cerc corespunzătoare unui unghi la centru de măsura \(\alpha^\circ\):
• Lungimea arcului de cerc: \( L_{arc} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \)
• Aria sectorului de cerc: \( \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \)
• Lungimea arcului de cerc: \( L_{arc} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \)
• Aria sectorului de cerc: \( \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \)
Exerciții și probleme
Ușoară: Un cerc are raza \(r = 6 \text{ cm}\). Calculați lungimea cercului, aria discului și lungimea arcului de cerc corespunzător unui unghi la centru de \(30^\circ\).
• \(L_{cerc} = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \text{ cm}\).
• \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ cm}^2\).
• \(L_{arc} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm}\).
• \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ cm}^2\).
• \(L_{arc} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm}\).
Medie: Două coarde \(AC\) și \(BD\) se intersectează într-un punct \(P\) aflat în interiorul unui cerc. Dacă măsura unghiului \(\measuredangle APB\) este de \(75^\circ\), iar măsura arcului \(\overset{\frown}{AB}\) este de \(50^\circ\), aflați măsura arcului \(\overset{\frown}{CD}\).
Folosim formula unghiului cu vârful în interiorul cercului, care este egal cu semisuma arcelor cuprinse între laturile sale:
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD})}{2} \]
Înlocuim datele cunoscute:
\[ 75^\circ = \frac{50^\circ + m(\overset{\frown}{CD})}{2} \]
\[ 150^\circ = 50^\circ + m(\overset{\frown}{CD}) \]
\[ m(\overset{\frown}{CD}) = 150^\circ - 50^\circ = 100^\circ \]
Răspuns: Măsura arcului \(\overset{\frown}{CD}\) este \(100^\circ\).
Dificilă: Un triunghi \(\Delta ABC\) are lungimile laturilor \(AB = 9\text{ cm}\), \(BC = 10\text{ cm}\) și \(AC = 7\text{ cm}\). Cercul înscris în triunghi intersectează laturile \(AB, BC\) și \(AC\) în punctele de tangență \(M, N\), respectiv \(P\). Calculați lungimile segmentelor \(AM, BM\) și \(CN\).
Din proprietatea tangentelor duse dintr-un punct exterior, obținem segmente congruente:
\(AM = AP = x\)
\(BM = BN = y\)
\(CN = CP = z\)
Formăm un sistem pe baza lungimilor laturilor:
\(x + y = 9\) (latură \(AB\))
\(y + z = 10\) (latură \(BC\))
\(x + z = 7\) (latură \(AC\))
Adunând cele 3 ecuații obținem perimetrul: \(2x + 2y + 2z = 26 \implies x + y + z = 13\).
Scădem ecuațiile individuale din sumă:
\(z = 13 - (x+y) = 13 - 9 = 4 \implies CN = CP = 4\text{ cm}\).
\(x = 13 - (y+z) = 13 - 10 = 3 \implies AM = AP = 3\text{ cm}\).
\(y = 13 - (x+z) = 13 - 7 = 6 \implies BM = BN = 6\text{ cm}\).
\(AM = AP = x\)
\(BM = BN = y\)
\(CN = CP = z\)
Formăm un sistem pe baza lungimilor laturilor:
\(x + y = 9\) (latură \(AB\))
\(y + z = 10\) (latură \(BC\))
\(x + z = 7\) (latură \(AC\))
Adunând cele 3 ecuații obținem perimetrul: \(2x + 2y + 2z = 26 \implies x + y + z = 13\).
Scădem ecuațiile individuale din sumă:
\(z = 13 - (x+y) = 13 - 9 = 4 \implies CN = CP = 4\text{ cm}\).
\(x = 13 - (y+z) = 13 - 10 = 3 \implies AM = AP = 3\text{ cm}\).
\(y = 13 - (x+z) = 13 - 7 = 6 \implies BM = BN = 6\text{ cm}\).
