Cele mai importante aspecte ale lecției
Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive egale (ceea ce face ca toate laturile să fie egale).
Rețineți cele 3 proprietăți definitorii în demonstrarea problemelor de geometrie:
Rețineți cele 3 proprietăți definitorii în demonstrarea problemelor de geometrie:
- Laturile: Toate cele 4 laturi au aceeași lungime (\(l_1 = l_2 = l_3 = l_4\)).
- Diagonalele (unghiurile dintre ele): Se intersectează formând unghiuri de \(90^\circ\) (\( \perp \)).
- Diagonalele (raportat la unghiurile figurii): Împart unghiurile rombului în jumătăți perfecte (sunt bisectoare).
Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.
Deoarece rombul este un caz particular de paralelogram, acesta moștenește toate proprietățile paralelogramului (laturile opuse sunt paralele și congruente, unghiurile opuse sunt congruente, diagonalele se înjumătățesc etc.).
Pe lângă proprietățile paralelogramului, rombul are următoarele trei proprietăți fundamentale care derivă din definiția sa:
Teorema 1: Toate laturile sunt congruente
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci \( AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD \).
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci \( AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD \).
Teorema 2: Diagonalele sunt perpendiculare
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele formează un unghi de 90° la intersecția lor: \( AC \perp BD \).
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele formează un unghi de 90° la intersecția lor: \( AC \perp BD \).
Teorema 3: Diagonalele sunt bisectoare
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele acestuia sunt bisectoarele unghiurilor sale.
\( \measuredangle DAC \equiv \measuredangle BAC \), \( \measuredangle DCA \equiv \measuredangle BCA \) (pentru diagonala \(AC\))
\( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CBD \), \( \measuredangle ADB \equiv \measuredangle CDB \) (pentru diagonala \(BD\))
Dacă patrulaterul \(ABCD\) este romb, atunci diagonalele acestuia sunt bisectoarele unghiurilor sale.
\( \measuredangle DAC \equiv \measuredangle BAC \), \( \measuredangle DCA \equiv \measuredangle BCA \) (pentru diagonala \(AC\))
\( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CBD \), \( \measuredangle ADB \equiv \measuredangle CDB \) (pentru diagonala \(BD\))
Pentru a demonstra că un patrulater oarecare este romb, trebuie fie să arătăm direct că are toate cele 4 laturi congruente, fie să demonstrăm mai întâi că este paralelogram, iar apoi să verificăm una dintre următoarele condiții (reciprocele teoremelor):
Arătăm că paralelogramul are două laturi consecutive congruente.
(Dacă \(ABCD\) - paralelogram și \(AB \equiv BC \implies ABCD\) - romb)
(Dacă \(ABCD\) - paralelogram și \(AB \equiv BC \implies ABCD\) - romb)
Arătăm că paralelogramul are diagonalele perpendiculare.
\[ ABCD \text{ paralelogram și } AC \perp BD \iff ABCD \text{ romb} \]
Arătăm că o diagonală a paralelogramului este bisectoarea unuia dintre unghiurile acestuia.
\[ ABCD \text{ paralelogram și } \measuredangle BAC \equiv \measuredangle DAC \iff ABCD \text{ romb} \]
Exerciții
Ușoară: Într-un romb \(ABCD\), măsura unghiului \(ABD\) este de \(33^\circ\). Calculați măsura unghiului \(ABC\) și măsura unghiului \(ADC\).
Deoarece \(ABCD\) este romb, diagonala \(BD\) este bisectoarea unghiului \(ABC\).
Prin urmare, \( \measuredangle ABC = 2 \cdot \measuredangle ABD = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \).
Deoarece rombul este un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Așadar, \( \measuredangle ADC \equiv \measuredangle ABC \implies \measuredangle ADC = 66^\circ \).
Prin urmare, \( \measuredangle ABC = 2 \cdot \measuredangle ABD = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \).
Deoarece rombul este un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Așadar, \( \measuredangle ADC \equiv \measuredangle ABC \implies \measuredangle ADC = 66^\circ \).
Medie: Se consideră un paralelogram \(MNPQ\). Se știe că \(MP \perp NQ\) și că perimetrul paralelogramului este de \(48 \text{ cm}\). Calculați lungimea laturii \(MN\).
Știm că \(MNPQ\) este un paralelogram. Din ipoteză avem că diagonalele sale sunt perpendiculare (\(MP \perp NQ\)).
Conform teoremei reciproce: Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb.
Deci, \(MNPQ\) este romb. Într-un romb, toate cele 4 laturi sunt congruente.
Formula perimetrului este \( P = 4 \cdot l \).
\( 4 \cdot MN = 48 \text{ cm} \implies MN = 48 : 4 = 12 \text{ cm} \).
Conform teoremei reciproce: Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb.
Deci, \(MNPQ\) este romb. Într-un romb, toate cele 4 laturi sunt congruente.
Formula perimetrului este \( P = 4 \cdot l \).
\( 4 \cdot MN = 48 \text{ cm} \implies MN = 48 : 4 = 12 \text{ cm} \).
Dificilă: Se dă rombul \(ABCD\) în care lungimea diagonalei \(AC\) este egală cu lungimea laturii \(AB\). Calculați măsurile tuturor unghiurilor rombului.
Deoarece \(ABCD\) este romb, toate laturile sale sunt congruente: \( AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD \).
Din ipoteză avem că \( AC = AB \).
Dacă ne uităm la triunghiul \( \triangle ABC \), laturile sale sunt \( AB, BC \) și \( AC \). Deoarece \( AB = BC \) (laturi de romb) și \( AC = AB \) (din ipoteză), rezultă că \( AB = BC = AC \).
Prin urmare, triunghiul \( \triangle ABC \) este echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile au \(60^\circ\).
Așadar, \( \measuredangle B = 60^\circ \).
Folosind proprietățile paralelogramului (rombului):
- Unghiurile opuse sunt congruente: \( \measuredangle D = \measuredangle B = 60^\circ \).
- Unghiurile consecutive sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)): \( \measuredangle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
- Din nou, unghiuri opuse: \( \measuredangle C = \measuredangle A = 120^\circ \).
Răspuns: Unghiurile rombului sunt \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).
Din ipoteză avem că \( AC = AB \).
Dacă ne uităm la triunghiul \( \triangle ABC \), laturile sale sunt \( AB, BC \) și \( AC \). Deoarece \( AB = BC \) (laturi de romb) și \( AC = AB \) (din ipoteză), rezultă că \( AB = BC = AC \).
Prin urmare, triunghiul \( \triangle ABC \) este echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile au \(60^\circ\).
Așadar, \( \measuredangle B = 60^\circ \).
Folosind proprietățile paralelogramului (rombului):
- Unghiurile opuse sunt congruente: \( \measuredangle D = \measuredangle B = 60^\circ \).
- Unghiurile consecutive sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)): \( \measuredangle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
- Din nou, unghiuri opuse: \( \measuredangle C = \measuredangle A = 120^\circ \).
Răspuns: Unghiurile rombului sunt \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).
