Cele mai importante aspecte ale lecției
Înmulțirea și împărțirea sub radical: Radicalii se pot înmulți sau împărți introducând valorile sub aceeași rădăcină pătrată: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) și \( \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a:b} \).
Coeficienții: Se calculează separat de valorile de sub radical: \( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{15} \).
Raționalizarea: Se folosește pentru a elimina radicalii de la numitorul unei fracții (se amplifică fracția cu radicalul respectiv).
Distributivitatea: Permite desfacerea parantezelor în calcule mixte: \( a(b+c) = ab + ac \).
Coeficienții: Se calculează separat de valorile de sub radical: \( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{15} \).
Raționalizarea: Se folosește pentru a elimina radicalii de la numitorul unei fracții (se amplifică fracția cu radicalul respectiv).
Distributivitatea: Permite desfacerea parantezelor în calcule mixte: \( a(b+c) = ab + ac \).
Pentru a efectua înmulțirea și împărțirea numerelor reale iraționale (care conțin radicali), se aplică reguli specifice, aducând numerele sub același radical.
Produsul radicalilor:
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \text{ unde } a \geq 0, b \geq 0 \]
Câtul radicalilor:
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \text{ unde } a \geq 0, b > 0 \]
*Câtul se poate scrie și sub formă de împărțire clasică: \( \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \)
Dacă numerele reale au și coeficienți în fața radicalilor, înmulțim coeficienții între ei și radicalii între ei:
\[ b\sqrt{m} \cdot c\sqrt{p} = (b \cdot c)\sqrt{m \cdot p} \]
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6} \)
\( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3)\sqrt{5 \cdot 2} = 6\sqrt{10} \)
\( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3)\sqrt{5 \cdot 2} = 6\sqrt{10} \)
Efectuați calculul: \( 10\sqrt{14} : 2\sqrt{7} \)
Împărțim coeficienții între ei și cantitățile de sub radical între ele:
\( (10 : 2)\sqrt{14 : 7} = 5\sqrt{2} \)
\( (10 : 2)\sqrt{14 : 7} = 5\sqrt{2} \)
De multe ori, pentru a simplifica un calcul sau un rezultat final, este necesară prelucrarea formei numerelor iraționale.
Introducerea factorului sub radical:
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}, \text{ unde } a \geq 0, b \geq 0 \]
Raționalizarea numitorului (eliminarea radicalului de la numitor): \[ \frac{a}{b\sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}}{bc}, \text{ unde } a \in \mathbb{R}, b \neq 0, c > 0 \]
Raționalizarea numitorului (eliminarea radicalului de la numitor): \[ \frac{a}{b\sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}}{bc}, \text{ unde } a \in \mathbb{R}, b \neq 0, c > 0 \]
Introducere: \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \)
Raționalizare: Amplificăm fracția cu \( \sqrt{3} \): \[ \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]
Raționalizare: Amplificăm fracția cu \( \sqrt{3} \): \[ \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]
Înmulțirea numerelor reale are aceleași proprietăți ca înmulțirea numerelor raționale (este comutativă, asociativă și admite element neutru).
Împărțirea a două numere reale reprezintă de fapt înmulțirea primului număr cu inversul celui de-al doilea: \( a : b = a \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} \).
Distributivitatea: Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Când aplicăm regula invers, de la \( a \cdot b + a \cdot c \) la \( a \cdot (b + c) \), spunem că am scos factor comun pe \( a \).
\( \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{6} + \sqrt{10} \)
Scoateți factor comun în expresia: \( 5\sqrt{7} - \sqrt{21} \)
Observăm că \( \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \).
Deci expresia devine: \( 5\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \).
Scoatem factor comun pe \( \sqrt{7} \):
\( \sqrt{7}(5 - \sqrt{3}) \).
Deci expresia devine: \( 5\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \).
Scoatem factor comun pe \( \sqrt{7} \):
\( \sqrt{7}(5 - \sqrt{3}) \).
Probleme practice
Ușoară: Calculați și scrieți rezultatul sub forma cea mai simplă: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} \).
Aplicăm regula produsului de radicali:
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} \)
Deoarece \( 6^2 = 36 \), rezultatul este \( 6 \).
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} \)
Deoarece \( 6^2 = 36 \), rezultatul este \( 6 \).
Medie: Calculați: \( (4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5}) : (8\sqrt{3}) \)
Pasul 1: Efectuăm înmulțirea din paranteză.
\( 4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} = (4 \cdot 2)\sqrt{15 \cdot 5} = 8\sqrt{75} \)
Pasul 2: Efectuăm împărțirea.
\( 8\sqrt{75} : 8\sqrt{3} = (8 : 8)\sqrt{75 : 3} = 1\sqrt{25} \)
Pasul 3: Calculăm radicalul final.
\( \sqrt{25} = 5 \).
\( 4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} = (4 \cdot 2)\sqrt{15 \cdot 5} = 8\sqrt{75} \)
Pasul 2: Efectuăm împărțirea.
\( 8\sqrt{75} : 8\sqrt{3} = (8 : 8)\sqrt{75 : 3} = 1\sqrt{25} \)
Pasul 3: Calculăm radicalul final.
\( \sqrt{25} = 5 \).
Dificilă: Calculați expresia aducând rezultatul la o formă simplificată: \( \sqrt{3}(\sqrt{27} - 2\sqrt{3}) + \frac{15}{\sqrt{3}} \).
Pasul 1: Aplicăm distributivitatea pentru prima parte.
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{81} - 2\sqrt{9} \)
Pasul 2: Calculăm radicalii obținuți.
\( 9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 \)
Pasul 3: Raționalizăm numitorul fracției din a doua parte a expresiei amplificând cu \( \sqrt{3} \).
\( \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \)
Pasul 4: Adunăm rezultatele parțiale.
Rezultat final: \( 3 + 5\sqrt{3} \).
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{81} - 2\sqrt{9} \)
Pasul 2: Calculăm radicalii obținuți.
\( 9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 \)
Pasul 3: Raționalizăm numitorul fracției din a doua parte a expresiei amplificând cu \( \sqrt{3} \).
\( \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \)
Pasul 4: Adunăm rezultatele parțiale.
Rezultat final: \( 3 + 5\sqrt{3} \).
