Cele mai importante aspecte ale lecției
Relația număr-punct: Fiecărui număr real îi corespunde un punct \( P(x) \) pe axă.
Numere opuse: Numerele de forma \( a \) și \( -a \) sunt simetrice față de origine.
Aproximarea: Numerele iraționale se reprezintă încadrându-le între valori raționale cunoscute (ex: \( 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 \)).
Distanța pe axă: Segmentul determinat de punctele \( A(x_A) \) și \( B(x_B) \) are lungimea calculată prin modulul diferenței: \( AB = |x_B - x_A| \).
Numere opuse: Numerele de forma \( a \) și \( -a \) sunt simetrice față de origine.
Aproximarea: Numerele iraționale se reprezintă încadrându-le între valori raționale cunoscute (ex: \( 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 \)).
Distanța pe axă: Segmentul determinat de punctele \( A(x_A) \) și \( B(x_B) \) are lungimea calculată prin modulul diferenței: \( AB = |x_B - x_A| \).
Oricărui număr real îi corespunde pe axa numerelor un punct unic și invers, oricărui punct de pe axă îi corespunde un număr real.
Dacă punctul este notat cu \( P \) și numărul cu \( x \), spunem că \( x \) este coordonata punctului \( P \) și scriem \( P(x) \).
Numerele opuse sunt coordonatele a două puncte distincte de pe axa numerelor care sunt egal depărtate de origine (punctul \( O(0) \)).
Dacă \( a \in \mathbb{R} \), atunci \( -a \) este opusul numărului \( a \). Ambele au aceeași valoare absolută (modul): \( |a| = |-a| \).
Care este opusul numărului \( -3,5 \) și la ce distanță se află acesta față de originea axei?
Opusul lui \( -3,5 \) este \( 3,5 \). Punctul de coordonată \( 3,5 \) se află la distanța \( |3,5| = 3,5 \) unități față de origine.
Numerele raționale pot fi reprezentate exact pe axa numerelor. Pentru numerele iraționale (cum ar fi radicalii care nu se calculează exact), se folosesc aproximările zecimale (prin lipsă sau adaos).
Pentru a reprezenta numărul \( \sqrt{2} \), calculăm primele zecimale: \( \sqrt{2} = 1,4142... \)
Deoarece \( 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 \), punctul care îi corespunde va fi situat pe axă între punctele \( M(1,4) \) și \( N(1,5) \).
Pentru o precizie mai mare, folosind două zecimale: \( 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 \), punctul se va afla între \( P(1,41) \) și \( Q(1,42) \).
Deoarece \( 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 \), punctul care îi corespunde va fi situat pe axă între punctele \( M(1,4) \) și \( N(1,5) \).
Pentru o precizie mai mare, folosind două zecimale: \( 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 \), punctul se va afla între \( P(1,41) \) și \( Q(1,42) \).
Între ce numere raționale cu o singură zecimală se află reprezentarea pe axă a numărului \( \sqrt{3} \)? (Se știe că \( \sqrt{3} \approx 1,732... \))
Deoarece \( 1,7 < 1,732... < 1,8 \), reprezentarea numărului \( \sqrt{3} \) se află între punctele de coordonate \( 1,7 \) și \( 1,8 \).
Lungimea segmentului format de două puncte pe axa numerelor reprezintă distanța dintre acele puncte și se calculează cu ajutorul modulului diferenței coordonatelor lor.
Dacă avem punctele \( A(x_A) \) și \( B(x_B) \), distanța \( AB \) este:
\[ AB = |x_B - x_A| = |x_A - x_B| \]
Dacă știm clar că \( x_B > x_A \), formula se poate scrie direct \( AB = x_B - x_A \).
Pentru \( A(-2) \) și \( B(5) \):
\[ AB = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 \] unități de măsură.
Calculați distanța dintre punctele \( M(3,5) \) și \( N(-1,5) \).
Aplicăm formula distanței:
\[ MN = |x_N - x_M| = |-1,5 - 3,5| = |-5| = 5 \] unități.
Probleme practice
Ușoară: Scrieți coordonatele punctelor care sunt opuse punctelor \( A(4) \) și \( B(-7,2) \).
Opusul lui \( 4 \) este \( -4 \). Punctul opus este \( A'(-4) \).
Opusul lui \( -7,2 \) este \( 7,2 \). Punctul opus este \( B'(7,2) \).
Opusul lui \( -7,2 \) este \( 7,2 \). Punctul opus este \( B'(7,2) \).
Medie: Se dau punctele \( P(\sqrt{5}) \) și \( Q(3\sqrt{5}) \). Calculați distanța dintre cele două puncte.
Folosim formula distanței:
\[ PQ = |x_Q - x_P| = |3\sqrt{5} - \sqrt{5}| = |2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} \]
Medie: Scrieți trei numere întregi ale căror reprezentări pe axă se află între punctele \( A(-2,3) \) și \( B(\sqrt{10}) \). (Se știe că \( \sqrt{10} \approx 3,16 \)).
Coordonatele căutate trebuie să se afle în intervalul \( (-2,3 ; 3,16) \).
Numerele întregi din acest interval sunt: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). Putem alege oricare trei dintre acestea (de exemplu: \( -1, 0, 2 \)).
Numerele întregi din acest interval sunt: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). Putem alege oricare trei dintre acestea (de exemplu: \( -1, 0, 2 \)).
Dificilă: Pe axa numerelor se consideră punctul \( A(-3) \). Determinați coordonatele punctului \( B \) știind că distanța dintre \( A \) și \( B \) este de \( 5 \) unități.
Știm că \( AB = 5 \), deci \( |x_B - x_A| = 5 \).
\( |x_B - (-3)| = 5 \implies |x_B + 3| = 5 \).
Avem două cazuri posibile (ecuație cu modul):
1) \( x_B + 3 = 5 \implies x_B = 2 \)
2) \( x_B + 3 = -5 \implies x_B = -8 \)
Așadar, punctul \( B \) poate avea coordonatele \( B(2) \) sau \( B(-8) \).
\( |x_B - (-3)| = 5 \implies |x_B + 3| = 5 \).
Avem două cazuri posibile (ecuație cu modul):
1) \( x_B + 3 = 5 \implies x_B = 2 \)
2) \( x_B + 3 = -5 \implies x_B = -8 \)
Așadar, punctul \( B \) poate avea coordonatele \( B(2) \) sau \( B(-8) \).
