Cele mai importante aspecte ale lecției
Trapezul isoscel:
- Definiție: Are laturile neparalele congruente (\(AD \equiv BC\)).
- Proprietatea 1 (Unghiuri): Unghiurile de la aceeași bază sunt congruente (\(\sphericalangle A \equiv \sphericalangle B\) și \(\sphericalangle C \equiv \sphericalangle D\)).
- Proprietatea 2 (Diagonale): Diagonalele sunt congruente (\(AC \equiv BD\)).
- Reciprocă: Dacă un trapez are unghiurile de la bază congruente SAU diagonalele congruente, atunci el este un trapez isoscel.
Trapezul isoscel este trapezul care are laturile neparalele congruente.
Ca în orice trapez, unghiurile alăturate laturilor neparalele sunt suplementare (suma lor este \(180^{\circ}\)).
Dacă \(AB \parallel CD\), atunci:
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle D = 180^{\circ} \text{ și } \sphericalangle B + \sphericalangle C = 180^{\circ} \]
Dacă într-un trapez \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) știm că \(AD = 5\) cm și \(BC = 5\) cm, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 1 (Proprietatea unghiurilor): Unghiurile alăturate bazelor unui trapez isoscel sunt congruente.
Dacă \(ABCD\) este un trapez isoscel cu \(AB \parallel CD\), atunci:
\[ \sphericalangle A \equiv \sphericalangle B \text{ (la baza mare)} \]
\[ \sphericalangle C \equiv \sphericalangle D \text{ (la baza mică)} \]
Teorema 2 (Proprietatea diagonalelor): Diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente.
Dacă \(ABCD\) este un trapez isoscel, atunci \(AC \equiv BD\).
Pentru a demonstra că un trapez este isoscel, este suficient să demonstrăm una dintre următoarele condiții (reciprocele teoremelor):
Condiția 1: Dacă unghiurile alăturate oricărei baze a unui trapez sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.
Condiția 2: Dacă diagonalele unui trapez sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.
Punctul de intersecție a diagonalelor unui trapez, notat cu \(O\), formează cu bazele trapezului triunghiuri isoscele (\(\triangle OAB\) și \(\triangle OCD\) sunt isoscele). Deoarece \(OA \equiv OB\) și \(OC \equiv OD\), deducem că \(AC = OA + OC\) este egal cu \(BD = OB + OD\). Având diagonalele congruente (\(AC \equiv BD\)), trapezul este isoscel.
Probleme practice
Ușoară: Un trapez isoscel \(ABCD\) (cu \(AB \parallel CD\)) are măsura unghiului \(\sphericalangle A\) egală cu \(45^{\circ}\). Determinați măsurile celorlalte unghiuri ale trapezului.
Deoarece trapezul este isoscel, unghiurile alăturate bazelor sunt congruente:
\[ \sphericalangle B \equiv \sphericalangle A \implies \sphericalangle B = 45^{\circ} \]
Unghiurile alăturate laturilor neparalele sunt suplementare:
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle D = 180^{\circ} \implies 45^{\circ} + \sphericalangle D = 180^{\circ} \implies \sphericalangle D = 135^{\circ} \]
La fel, \(\sphericalangle C \equiv \sphericalangle D \implies \sphericalangle C = 135^{\circ}\).
Răspuns: \(\sphericalangle B = 45^{\circ}\), \(\sphericalangle C = 135^{\circ}\), \(\sphericalangle D = 135^{\circ}\).
Răspuns: \(\sphericalangle B = 45^{\circ}\), \(\sphericalangle C = 135^{\circ}\), \(\sphericalangle D = 135^{\circ}\).
Medie: Fie un trapez isoscel \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\). Calculați măsurile unghiurilor trapezului, știind că \(\sphericalangle A = 2 \cdot \sphericalangle D\).
Într-un trapez, unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare:
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle D = 180^{\circ} \]
Înlocuim \(\sphericalangle A\) cu \(2 \cdot \sphericalangle D\):
\[ 2 \cdot \sphericalangle D + \sphericalangle D = 180^{\circ} \]
\[ 3 \cdot \sphericalangle D = 180^{\circ} \implies \sphericalangle D = 60^{\circ} \]
Dacă \(\sphericalangle D = 60^{\circ}\), atunci \(\sphericalangle A = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
Deoarece trapezul este isoscel:
\[ \sphericalangle B \equiv \sphericalangle A = 120^{\circ} \text{ și } \sphericalangle C \equiv \sphericalangle D = 60^{\circ} \]
Răspuns: \(\sphericalangle A = 120^{\circ}\), \(\sphericalangle B = 120^{\circ}\), \(\sphericalangle C = 60^{\circ}\), \(\sphericalangle D = 60^{\circ}\).
Răspuns: \(\sphericalangle A = 120^{\circ}\), \(\sphericalangle B = 120^{\circ}\), \(\sphericalangle C = 60^{\circ}\), \(\sphericalangle D = 60^{\circ}\).
Dificilă: Trapezul \(ABCD\) este isoscel, cu \(AB \parallel CD\), și se notează cu \(O\) punctul de intersecție a diagonalelor. Demonstrați că triunghiurile \(\triangle BOC\) și \(\triangle AOD\) sunt congruente.
Demonstrație:
1. Deoarece \(ABCD\) este trapez isoscel, știm că laturile neparalele sunt congruente: \(AD \equiv BC\).
2. Din proprietățile trapezului isoscel, diagonalele sunt congruente: \(AC \equiv BD\).
3. Baza mare \(AB\) este latură comună pentru \(\triangle ABD\) și \(\triangle BAC\).
Conform cazului de congruență L.L.L. (Latură-Latură-Latură), obținem că \(\triangle ABD \equiv \triangle BAC\).
Din această congruență rezultă că \(\sphericalangle ABD \equiv \sphericalangle BAC\), adică \(\triangle AOB\) este isoscel, de unde \(OA \equiv OB\).
Deoarece \(AC \equiv BD\) și \(OA \equiv OB\), prin scădere obținem: \[ AC - OA = BD - OB \implies OC \equiv OD \]
Acum, analizăm triunghiurile \(\triangle AOD\) și \(\triangle BOC\):
1. Deoarece \(ABCD\) este trapez isoscel, știm că laturile neparalele sunt congruente: \(AD \equiv BC\).
2. Din proprietățile trapezului isoscel, diagonalele sunt congruente: \(AC \equiv BD\).
3. Baza mare \(AB\) este latură comună pentru \(\triangle ABD\) și \(\triangle BAC\).
Conform cazului de congruență L.L.L. (Latură-Latură-Latură), obținem că \(\triangle ABD \equiv \triangle BAC\).
Din această congruență rezultă că \(\sphericalangle ABD \equiv \sphericalangle BAC\), adică \(\triangle AOB\) este isoscel, de unde \(OA \equiv OB\).
Deoarece \(AC \equiv BD\) și \(OA \equiv OB\), prin scădere obținem: \[ AC - OA = BD - OB \implies OC \equiv OD \]
Acum, analizăm triunghiurile \(\triangle AOD\) și \(\triangle BOC\):
- \(AD \equiv BC\) (ipoteză, trapez isoscel)
- \(OD \equiv OC\) (demonstrat anterior)
- \(OA \equiv OB\) (demonstrat anterior)
