VII.4. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Analizând figura 7, vom identifica perechile de triunghiuri asemenea aplicând criteriile studiate: LUL (Latură-Unghi-Latură), UU (Unghi-Unghi) sau LLL (Latură-Latură-Latură).

Cazul a)

În prima pereche, observăm triunghiurile \( \triangle ABC \) și \( \triangle FED \). Avem \( \measuredangle A = \measuredangle F = 120^{\circ} \). Verificăm rapoartele laturilor care formează aceste unghiuri: \( \frac{AB}{FE} = \frac{1,5}{3} = \frac{1}{2} \) \( \frac{AC}{FD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) Deoarece rapoartele sunt egale (\( \frac{AB}{FE} = \frac{AC}{FD} \)) și unghiurile cuprinse între ele sunt congruente, conform criteriului LUL, rezultă că \( \triangle ABC \sim \triangle FED \). Proporționalitatea laturilor: \( \frac{AB}{FE} = \frac{BC}{ED} = \frac{AC}{FD} \) Congruența unghiurilor: \( \measuredangle A \equiv \measuredangle F \), \( \measuredangle B \equiv \measuredangle E \), \( \measuredangle C \equiv \measuredangle D \).

Cazul b)

Aici avem triunghiurile \( \triangle MNR \) și \( \triangle MPN \). Observăm că unghiul \( \measuredangle M \) este comun ambelor triunghiuri. Din datele problemei, \( \measuredangle MNR = \measuredangle MPN = 37^{\circ} \). Avem două perechi de unghiuri congruente. Conform criteriului UU, cele două triunghiuri sunt asemenea: \( \triangle MNR \sim \triangle MPN \). Proporționalitatea laturilor: \( \frac{MN}{MP} = \frac{NR}{PN} = \frac{MR}{MN} \) Congruența unghiurilor: \( \measuredangle M \equiv \measuredangle M \), \( \measuredangle MNR \equiv \measuredangle MPN \), \( \measuredangle MRN \equiv \measuredangle MNP \).

Cazul c)

Comparăm triunghiurile \( \triangle GHK \) și \( \triangle ORL \). Observăm din figură că \( \measuredangle H \equiv \measuredangle R \) (ambele sunt marcate cu același arc roșu). Calculăm rapoartele laturilor care formează aceste unghiuri: \( \frac{GH}{OR} = \frac{4,8}{4} = 1,2 \) \( \frac{HK}{RL} = \frac{3,6}{3} = 1,2 \) Deoarece rapoartele sunt egale (\( \frac{GH}{OR} = \frac{HK}{RL} \)) și unghiurile cuprinse între ele sunt congruente, conform criteriului LUL, rezultă că \( \triangle GHK \sim \triangle ORL \). Proporționalitatea laturilor: \( \frac{GH}{OR} = \frac{HK}{RL} = \frac{GK}{OL} \) Congruența unghiurilor: \( \measuredangle H \equiv \measuredangle R \), \( \measuredangle G \equiv \measuredangle O \), \( \measuredangle K \equiv \measuredangle L \).

Cazul d)

Avem triunghiul dreptunghic \( \triangle STV \) (\( \measuredangle T = 90^{\circ} \)) și înălțimea sa \( TJ \perp SV \), care formează triunghiurile dreptunghice \( \triangle SJT \) și \( \triangle TJV \). Putem identifica trei perechi de triunghiuri asemenea. Vom detalia pentru \( \triangle STV \) și \( \triangle SJT \). Ambele triunghiuri au un unghi drept: \( \measuredangle STV = \measuredangle SJT = 90^{\circ} \). Unghiul \( \measuredangle S \) este comun. Conform criteriului UU, rezultă că \( \triangle STV \sim \triangle SJT \). Prin analogie, se obține și \( \triangle STV \sim \triangle TJV \) și \( \triangle SJT \sim \triangle TJV \). Pentru \( \triangle STV \sim \triangle SJT \): Proporționalitatea laturilor: \( \frac{ST}{SJ} = \frac{TV}{JT} = \frac{SV}{ST} \) Congruența unghiurilor: \( \measuredangle S \equiv \measuredangle S \), \( \measuredangle STV \equiv \measuredangle SJT \), \( \measuredangle SVT \equiv \measuredangle STJ \).

a) \( \frac{1,5}{3} = \frac{2}{4} = 0,5 \), \( \hat{A}=\hat{F}=120^{\circ} \xrightarrow{LUL} \triangle ABC \sim \triangle FED \); \( \frac{AB}{FE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{FD} \); \( \hat{A}\equiv\hat{F}, \hat{B}\equiv\hat{E}, \hat{C}\equiv\hat{D} \). b) \( \hat{M}\equiv\hat{M}, \measuredangle MNR=\measuredangle MPN=37^{\circ} \xrightarrow{UU} \triangle MNR \sim \triangle MPN \); \( \frac{MN}{MP}=\frac{NR}{PN}=\frac{MR}{MN} \); \( \hat{M}\equiv\hat{M}, \measuredangle MNR\equiv\measuredangle MPN, \measuredangle MRN\equiv\measuredangle MNP \). c) \( \hat{H}\equiv\hat{R}, \frac{4,8}{4} = \frac{3,6}{3} = 1,2 \xrightarrow{LUL} \triangle GHK \sim \triangle ORL \); \( \frac{GH}{OR}=\frac{HK}{RL}=\frac{GK}{OL} \); \( \hat{H}\equiv\hat{R}, \hat{G}\equiv\hat{O}, \hat{K}\equiv\hat{L} \). d) \( \measuredangle STV=\measuredangle SJT=90^{\circ}, \hat{S}\equiv\hat{S} \xrightarrow{UU} \triangle STV \sim \triangle SJT \); \( \frac{ST}{SJ}=\frac{TV}{JT}=\frac{SV}{ST} \); \( \hat{S}\equiv\hat{S}, \measuredangle STV\equiv\measuredangle SJT, \measuredangle SVT\equiv\measuredangle STJ \).