Cele mai importante aspecte ale lecției
Tabelul centralizator al formulelor esențiale pentru elementele poligoanelor regulate înscrise într-un cerc de rază \( R \):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Poligon regulat} & \textbf{Latura } (l_n) & \textbf{Apotema } (a_n) & \textbf{Aria } (\mathscr{A}_n) \\ \hline \text{Triunghi echilateral } (n=3) & R\sqrt{3} & \frac{R}{2} & \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \\ \hline \text{Pătrat } (n=4) & R\sqrt{2} & \frac{R\sqrt{2}}{2} & 2R^2 \\ \hline \text{Hexagon regulat } (n=6) & R & \frac{R\sqrt{3}}{2} & \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \\ \hline \end{array} \]
Concluzii practice:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Poligon regulat} & \textbf{Latura } (l_n) & \textbf{Apotema } (a_n) & \textbf{Aria } (\mathscr{A}_n) \\ \hline \text{Triunghi echilateral } (n=3) & R\sqrt{3} & \frac{R}{2} & \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \\ \hline \text{Pătrat } (n=4) & R\sqrt{2} & \frac{R\sqrt{2}}{2} & 2R^2 \\ \hline \text{Hexagon regulat } (n=6) & R & \frac{R\sqrt{3}}{2} & \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \\ \hline \end{array} \]
Concluzii practice:
- Apotema se măsoară mereu de la centrul cercului perpendicular pe latură.
- La hexagon, latura este întotdeauna egală cu raza (\(l_6 = R\)).
- La triunghiul echilateral, apotema este exact jumătate din rază (\(a_3 = \frac{R}{2}\)).
Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente. Orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc.
Dacă un poligon regulat cu \(n\) laturi este înscris într-un cerc de centru \(O\), măsura unghiului la centru format de razele duse la capetele unei laturi este:
\[ \measuredangle AOB = \frac{360^\circ}{n} \]
Apotema poligonului este distanța de la centrul cercului circumscris la o latură a poligonului regulat (perpendiculara din centru pe latură).
Notații standard:
\( R \) = raza cercului circumscris
\( l_n \) = lungimea laturii poligonului cu \(n\) laturi
\( a_n \) = apotema poligonului cu \(n\) laturi
\( \mathscr{A}_n \) = aria poligonului cu \(n\) laturi
\( R \) = raza cercului circumscris
\( l_n \) = lungimea laturii poligonului cu \(n\) laturi
\( a_n \) = apotema poligonului cu \(n\) laturi
\( \mathscr{A}_n \) = aria poligonului cu \(n\) laturi
Calculați măsura unghiului la centru determinat de o latură a unui octogon regulat (8 laturi) înscris într-un cerc.
Aplicăm formula pentru unghiul la centru:
\[ \measuredangle = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \]
Într-un triunghi echilateral înscris în cerc, unghiul la centru corespunzător unei laturi este \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \).
Latura: \( l_3 = R\sqrt{3} \)
Apotema: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Apotema: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Dacă raza cercului este \( R = 4 \) cm, atunci:
Latura triunghiului: \( l_3 = 4\sqrt{3} \) cm
Apotema: \( a_3 = \frac{4}{2} = 2 \) cm
Latura triunghiului: \( l_3 = 4\sqrt{3} \) cm
Apotema: \( a_3 = \frac{4}{2} = 2 \) cm
Aflați raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura de \( 6\sqrt{3} \) cm.
Știm că \( l_3 = R\sqrt{3} \).
\[ 6\sqrt{3} = R\sqrt{3} \implies R = 6 \text{ cm} \]
Într-un pătrat înscris în cerc, unghiul la centru corespunzător unei laturi este \( \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \).
Latura: \( l_4 = R\sqrt{2} \)
Apotema: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_4 = (l_4)^2 = 2R^2 \)
Apotema: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_4 = (l_4)^2 = 2R^2 \)
Dacă raza cercului este \( R = 5 \) cm, aria pătratului este:
\[ \mathscr{A}_4 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50 \text{ cm}^2 \]
Calculați apotema unui pătrat care are latura de \( 8 \) cm.
Apotema pătratului este jumătate din latura sa (deoarece apotema este și linia mijlocie în triunghiul format de centru și două vârfuri opuse, sau se deduce din formule):
\( l_4 = 8 \implies R\sqrt{2} = 8 \implies R = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \) cm.
\( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4 \) cm.
Scurtătură: Întotdeauna, la pătrat, \( a_4 = \frac{l_4}{2} \).
\( l_4 = 8 \implies R\sqrt{2} = 8 \implies R = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \) cm.
\( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4 \) cm.
Scurtătură: Întotdeauna, la pătrat, \( a_4 = \frac{l_4}{2} \).
Într-un hexagon regulat înscris în cerc, unghiul la centru este \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \). Triunghiul format de centrul cercului și capetele unei laturi este echilateral.
Latura: \( l_6 = R \)
Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_6 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Aria: \( \mathscr{A}_6 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Deoarece latura hexagonului regulat este egală cu raza (\( l_6 = R \)), hexagonul poate fi împărțit în 6 triunghiuri echilaterale congruente. Astfel, apotema hexagonului este exact înălțimea unuia dintre aceste triunghiuri echilaterale.
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu raza \( R = 10 \) cm. Calculați perimetrul hexagonului.
Latura hexagonului este egală cu raza: \( l_6 = R = 10 \) cm.
Perimetrul este suma celor 6 laturi: \( P_6 = 6 \cdot l_6 = 6 \cdot 10 = 60 \) cm.
Perimetrul este suma celor 6 laturi: \( P_6 = 6 \cdot l_6 = 6 \cdot 10 = 60 \) cm.
Probleme propuse
Ușoară: Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc cu raza \( R = 12 \) cm. Calculați lungimea laturii și lungimea apotemei triunghiului.
Aplicăm formulele directe pentru \( n=3 \):
Latura: \( l_3 = R\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) cm.
Apotema: \( a_3 = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm.
Latura: \( l_3 = R\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) cm.
Apotema: \( a_3 = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm.
Medie: Aria unui pătrat înscris într-un cerc este de \( 72 \text{ cm}^2 \). Aflați raza cercului și apoi calculați apotema unui triunghi echilateral înscris în același cerc.
Pasul 1: Aflăm raza cercului din aria pătratului.
Formula ariei pătratului este \( \mathscr{A}_4 = 2R^2 \).
\( 2R^2 = 72 \implies R^2 = 36 \implies R = 6 \) cm.
Pasul 2: Calculăm apotema triunghiului echilateral pentru \( R = 6 \) cm.
\( a_3 = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm.
Formula ariei pătratului este \( \mathscr{A}_4 = 2R^2 \).
\( 2R^2 = 72 \implies R^2 = 36 \implies R = 6 \) cm.
Pasul 2: Calculăm apotema triunghiului echilateral pentru \( R = 6 \) cm.
\( a_3 = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm.
Dificilă: Perimetrul unui triunghi echilateral înscris într-un cerc este de \( 27\sqrt{3} \) cm. Calculați aria hexagonului regulat înscris în același cerc.
Pasul 1: Găsim latura triunghiului echilateral.
\( P_3 = 3 \cdot l_3 = 27\sqrt{3} \implies l_3 = 9\sqrt{3} \) cm.
Pasul 2: Aflăm raza cercului.
\( l_3 = R\sqrt{3} \implies R\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \implies R = 9 \) cm.
Pasul 3: Calculăm aria hexagonului regulat cu formula corespunzătoare.
\( \mathscr{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 9^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 81 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{243\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2 \).
\( P_3 = 3 \cdot l_3 = 27\sqrt{3} \implies l_3 = 9\sqrt{3} \) cm.
Pasul 2: Aflăm raza cercului.
\( l_3 = R\sqrt{3} \implies R\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \implies R = 9 \) cm.
Pasul 3: Calculăm aria hexagonului regulat cu formula corespunzătoare.
\( \mathscr{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 9^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 81 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{243\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2 \).
