Cele mai importante aspecte ale lecției
- Mulțimi egale (\( A = B \)): Au exact aceleași elemente.
- Incluziune (\( A \subset B \)): Toate elementele lui \( A \) sunt și în \( B \). Spunem că \( A \) este submulțime.
- Proprietăți cheie: \( \varnothing \subset A \) (mulțimea vidă este inclusă oriunde) și \( A \subset A \) (orice mulțime e inclusă în ea însăși).
- Dubla incluziune: Dacă \( A \subset B \) și \( B \subset A \), atunci în mod obligatoriu \( A = B \).
- Calcul submulțimi: O mulțime cu \( n \) elemente generează \( 2^n \) submulțimi în total.
Două mulțimi care au exact aceleași elemente se numesc mulțimi egale.
Dacă mulțimile \( A \) și \( B \) sunt egale, notăm \( A = B \).
Dacă mulțimile nu au aceleași elemente, notăm \( A \neq B \) (se citește „A este diferit de B” sau „nu sunt egale”).
Fie mulțimea \( X = \{1, 2, 3\} \) și mulțimea \( Y = \{3, 1, 2\} \). Deoarece ordinea scrierii elementelor nu contează, iar elementele sunt identice, avem \( X = Y \).
Fie mulțimile \( M = \{a, b, c\} \) și \( N = \{a, b, d\} \). Care este relația dintre cele două mulțimi?
Deoarece elementul \( c \) aparține mulțimii \( M \), dar nu aparține mulțimii \( N \) (și invers, \( d \in N \) dar \( d \notin M \)), mulțimile nu au aceleași elemente.
Răspuns: \( M \neq N \).
Răspuns: \( M \neq N \).
O mulțime \( C \) este inclusă într-o altă mulțime \( D \) dacă absolut toate elementele mulțimii \( C \) se regăsesc printre elementele mulțimii \( D \). În acest caz, \( C \) se numește submulțime a lui \( D \).
Notăm \( C \subset D \) și citim „mulțimea \( C \) este inclusă în mulțimea \( D \)” sau „\( C \) este o submulțime a lui \( D \)”.
Relația se poate scrie și invers: \( D \supset C \), care se citește „mulțimea \( D \) include mulțimea \( C \)”.
Dacă există cel puțin un element în prima mulțime care nu se află în a doua mulțime, atunci prima mulțime nu este inclusă în a doua. Se notează \( A \not\subset E \).
Fie \( A = \{3, 4\} \) și \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Deoarece elementele 3 și 4 din mulțimea \( A \) se află și în mulțimea \( B \), deducem că \( A \subset B \).
Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: \( \varnothing \subset A \), oricare ar fi mulțimea \( A \).
Orice mulțime este inclusă în ea însăși: \( A \subset A \), oricare ar fi mulțimea \( A \).
Egalitatea a două mulțimi se poate demonstra prin dublă incluziune: două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă fiecare dintre ele este o submulțime a celeilalte.
\[ \text{Dacă } A \subset B \text{ și } B \subset A \implies A = B \]
\[ \text{Dacă } A \subset B \text{ și } B \subset A \implies A = B \]
Numărul de submulțimi
Pentru o mulțime cu \( n \) elemente, numărul tuturor submulțimilor sale posibile este \( 2^n \).
Câte submulțimi are mulțimea \( M = \{5, 8, 9\} \)?
Mulțimea \( M \) are 3 elemente (\( n = 3 \)). Folosind formula, numărul de submulțimi este \( 2^3 = 8 \).
| Notezi | Citești |
|---|---|
| \( A = B \) | mulțimile \( A \) și \( B \) sunt egale |
| \( A \neq B \) | mulțimile \( A \) și \( B \) nu sunt egale |
| \( A \subset B \) sau \( B \supset A \) |
mulțimea \( A \) este inclusă în mulțimea \( B \) mulțimea \( A \) este o submulțime a mulțimii \( B \) mulțimea \( A \) este o parte a mulțimii \( B \) mulțimea \( B \) include mulțimea \( A \) |
| \( A \not\subset B \) sau \( B \not\supset A \) |
mulțimea \( A \) nu este inclusă în mulțimea \( B \) mulțimea \( B \) nu include mulțimea \( A \) |
Exerciții
Ușoară: Scrieți adevărat (A) sau fals (F) pentru următoarele afirmații:
a) \( \{2, 5, 7\} \subset \{1, 2, 3, 5, 7, 9\} \)
b) \( \{4, 8\} \not\subset \{2, 4, 6\} \)
a) \( \{2, 5, 7\} \subset \{1, 2, 3, 5, 7, 9\} \)
b) \( \{4, 8\} \not\subset \{2, 4, 6\} \)
a) Adevărat (A). Toate elementele primei mulțimi (2, 5, 7) se găsesc în a doua.
b) Adevărat (A). Elementul 8 din prima mulțime nu se află în a doua mulțime, deci incluziunea nu are loc.
b) Adevărat (A). Elementul 8 din prima mulțime nu se află în a doua mulțime, deci incluziunea nu are loc.
Medie: Determinați valoarea numărului natural \( x \) știind că mulțimile \( A = \{2, 5, x\} \) și \( B = \{7, 2, 5\} \) sunt egale.
Deoarece \( A = B \), ele trebuie să conțină exact aceleași elemente. Comparând elementele, vedem că ambele conțin 2 și 5. Pentru a fi egale, elementul rămas din \( A \) trebuie să fie egal cu elementul rămas din \( B \).
Răspuns: \( x = 7 \).
Răspuns: \( x = 7 \).
Dificilă: O mulțime \( K \) are exact 16 submulțimi. Determinați numărul de elemente (cardinalul) mulțimii \( K \).
Știm formula pentru numărul de submulțimi: \( 2^n \), unde \( n \) este numărul de elemente.
Avem ecuația: \( 2^n = 16 \).
Știind că \( 2^4 = 16 \), rezultă că \( n = 4 \).
Răspuns: Mulțimea \( K \) are 4 elemente.
Avem ecuația: \( 2^n = 16 \).
Știind că \( 2^4 = 16 \), rezultă că \( n = 4 \).
Răspuns: Mulțimea \( K \) are 4 elemente.
