Cele mai importante aspecte ale lecției
- Adunarea numerelor cu același semn: se adună modulele și se păstrează semnul comun. Ex: \(-3 - 4 = -7\).
- Adunarea numerelor cu semne diferite: se scade modulul mic din modulul mare și se păstrează semnul celui cu modulul mai mare. Ex: \(-8 + 5 = -3\).
- Scăderea: se face adunând descăzutul cu opusul scăzătorului. Ex: \(4 - (-2) = 4 + 2 = 6\).
- Reguli de semne (paranteze): \(-(-\dots)\) devine \(+\), iar \(-(+\dots)\) devine \(-\). Semnul plus din fața unei paranteze lasă semnele neschimbate.
Adunarea numerelor întregi se efectuează diferit, în funcție de semnele acestora.
1. Numere cu același semn: Suma a două numere întregi cu același semn este egală cu suma modulelor lor, precedată de semnul comun.
Pozitive: \( (+2) + (+3) = +(|+2| + |+3|) = +(2 + 3) = +5 \)
Negative: \( (-5) + (-3) = -(|-5| + |-3|) = -(5 + 3) = -8 \)
Negative: \( (-5) + (-3) = -(|-5| + |-3|) = -(5 + 3) = -8 \)
2. Numere cu semne diferite: Suma a două numere întregi de semne diferite (și module diferite) este egală cu diferența modulelor, precedată de semnul numărului care are modulul mai mare.
\( (+2) + (-7) = -(|-7| - |+2|) = -(7 - 2) = -5 \)
\( (+9) + (-4) = +(|+9| - |-4|) = +(9 - 4) = +5 \)
\( (+9) + (-4) = +(|+9| - |-4|) = +(9 - 4) = +5 \)
3. Numere opuse: Suma a două numere întregi opuse (semne diferite și module egale) este întotdeauna zero.
\( (+9) + (-9) = 9 - 9 = 0 \)
Calculați: \( (-12) + (+8) \)
Numerele au semne diferite. Modulul mai mare este al lui \(-12\).
Scădem modulele: \( 12 - 8 = 4 \).
Păstrăm semnul numărului cu modulul mai mare (\(-\)):
\( (-12) + (+8) = -4 \)
Scădem modulele: \( 12 - 8 = 4 \).
Păstrăm semnul numărului cu modulul mai mare (\(-\)):
\( (-12) + (+8) = -4 \)
Operația de scădere se transformă într-o operație de adunare cu opusul numărului care se scade.
\[ a - b = a + (-b) \]
\( (+2) - (+7) = (+2) + (-7) = -5 \)
\( (-2) - (-3) = (-2) + (+3) = +1 \)
\( (-2) - (-3) = (-2) + (+3) = +1 \)
Efectuați scăderea: \( (-5) - (+4) \)
Transformăm scăderea în adunare cu opusul lui \(+4\), care este \(-4\):
\( (-5) - (+4) = (-5) + (-4) \)
Deoarece au același semn, adunăm modulele și păstrăm semnul:
\( (-5) + (-4) = -9 \)
\( (-5) - (+4) = (-5) + (-4) \)
Deoarece au același semn, adunăm modulele și păstrăm semnul:
\( (-5) + (-4) = -9 \)
Adunarea numerelor întregi are următoarele proprietăți (oricare ar fi numerele întregi \(a, b, c\)):
- Comutativitatea: \( a + b = b + a \)
- Asociativitatea: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Element neutru: Numărul \( 0 \) este element neutru la adunare: \( a + 0 = 0 + a = a \)
- Elemente opuse: Orice număr întreg \( a \) are un opus, \( -a \), iar suma lor este nulă: \( a + (-a) = 0 \)
Regulă pentru egalități: Dacă la o egalitate adunăm sau scădem același termen, egalitatea se păstrează.
Dacă \( a = b \), atunci \( a + c = b + c \) și \( a - c = b - c \). Aceeași regulă este valabilă și pentru inegalități (\(<, >\)).
Dacă \( a = b \), atunci \( a + c = b + c \) și \( a - c = b - c \). Aceeași regulă este valabilă și pentru inegalități (\(<, >\)).
Suma algebrică este o expresie care conține numere întregi și semnele „+” și/sau „-” între ele. Pentru a calcula ușor, se elimină parantezele folosind regulile semnelor.
Eliminarea parantezelor:
- Semnul „-” în fața unei paranteze schimbă semnul termenului din paranteză:
\( -(+n) = -n \) și \( -(-n) = +n \) - Semnul „+” în fața unei paranteze nu schimbă semnul termenului din paranteză:
\( +(+n) = +n \) și \( +(-n) = -n \)
Transformăm toate scăderile în adunări, eliminând parantezele conform regulilor de mai sus.
Grupăm numerele pozitive la un loc și numerele negative la un loc (folosind comutativitatea).
Calculăm rezultatul final.
Calculăm suma algebrică: \( S = (-1) - (-3) + (-7) \)
Eliminăm parantezele: \( S = -1 + 3 - 7 \)
Grupăm: \( S = 3 - 1 - 7 = 3 - 8 \)
Calculăm: \( S = -5 \)
Eliminăm parantezele: \( S = -1 + 3 - 7 \)
Grupăm: \( S = 3 - 1 - 7 = 3 - 8 \)
Calculăm: \( S = -5 \)
Probleme de antrenament
Ușoară: Calculați:
a) \( (-8) + (-5) \)
b) \( (+15) - (-6) \)
a) \( (-8) + (-5) \)
b) \( (+15) - (-6) \)
a) Numere cu același semn (negativ): adunăm modulele și păstrăm semnul.
\( -(8 + 5) = -13 \)
b) Transformăm scăderea în adunare cu opusul lui \(-6\), care este \(+6\).
\( (+15) + (+6) = +21 \)
\( -(8 + 5) = -13 \)
b) Transformăm scăderea în adunare cu opusul lui \(-6\), care este \(+6\).
\( (+15) + (+6) = +21 \)
Medie: Transformați expresia într-o formă mai simplă (eliminând parantezele) și calculați:
\( S = (-4) + (+9) - (-5) - (+12) \)
\( S = (-4) + (+9) - (-5) - (+12) \)
Pasul 1 (eliminarea parantezelor):
„+” în fața parantezei păstrează semnul, „-” în fața parantezei îl schimbă.
\( S = -4 + 9 + 5 - 12 \)
Pasul 2 (gruparea termenilor pozitivi și negativi):
\( S = (9 + 5) + (-4 - 12) \)
\( S = 14 - 16 \)
Pasul 3 (calculul final):
\( S = -2 \)
„+” în fața parantezei păstrează semnul, „-” în fața parantezei îl schimbă.
\( S = -4 + 9 + 5 - 12 \)
Pasul 2 (gruparea termenilor pozitivi și negativi):
\( S = (9 + 5) + (-4 - 12) \)
\( S = 14 - 16 \)
Pasul 3 (calculul final):
\( S = -2 \)
Dificilă: Calculați rapid următoarea sumă algebrică, formată din mai mulți termeni:
\( S = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ... - 19 + 20 \)
\( S = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ... - 19 + 20 \)
Putem rezolva această sumă grupând termenii doi câte doi:
\( S = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + ... + (-19 + 20) \)
Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este \(+1\):
\( -1 + 2 = 1 \)
\( -3 + 4 = 1 \)
etc.
De la 1 la 20 sunt 20 de numere. Deoarece le-am grupat câte două, vom avea \( 20 : 2 = 10 \) paranteze (sau perechi).
Prin urmare, adunăm numărul \(1\) de \(10\) ori:
\( S = 1 \cdot 10 = 10 \)
\( S = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + ... + (-19 + 20) \)
Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este \(+1\):
\( -1 + 2 = 1 \)
\( -3 + 4 = 1 \)
etc.
De la 1 la 20 sunt 20 de numere. Deoarece le-am grupat câte două, vom avea \( 20 : 2 = 10 \) paranteze (sau perechi).
Prin urmare, adunăm numărul \(1\) de \(10\) ori:
\( S = 1 \cdot 10 = 10 \)
