Cele mai importante aspecte ale lecției
Reuniunea (\( \cup \)): Pune la un loc elementele din ambele mulțimi (fără a le repeta). Cuvânt cheie: "sau".
Intersecția (\( \cap \)): Păstrează exclusiv elementele comune. Cuvânt cheie: "și".
Diferența (\( \setminus \)): Păstrează elementele din prima mulțime, eliminându-le pe cele care se găsesc și în a doua. Cuvinte cheie: "doar în...", "aparține... și nu aparține...".
Cardinale: Numărul total de elemente a două mulțimi este suma elementelor fiecăreia, din care se scade numărul elementelor comune (pentru a nu le număra de două ori).
Intersecția (\( \cap \)): Păstrează exclusiv elementele comune. Cuvânt cheie: "și".
Diferența (\( \setminus \)): Păstrează elementele din prima mulțime, eliminându-le pe cele care se găsesc și în a doua. Cuvinte cheie: "doar în...", "aparține... și nu aparține...".
Cardinale: Numărul total de elemente a două mulțimi este suma elementelor fiecăreia, din care se scade numărul elementelor comune (pentru a nu le număra de două ori).
Prin operație cu mulțimi se înțelege procedeul prin care, din două mulțimi date, obținem o nouă mulțime. Reuniunea mulțimilor \( A \) și \( B \), notată \( A \cup B \), este mulțimea formată din elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile \( A \) sau \( B \).
\[ x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ sau } x \in B \]
Dacă \( A = \{1, 2, 3\} \) și \( B = \{3, 4, 5\} \), atunci \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Atenție: Elementele comune se scriu o singură dată.
Atenție: Elementele comune se scriu o singură dată.
Fie \( X = \{a, b, c\} \) și \( Y = \{b, c, d, e\} \). Determinați \( X \cup Y \).
Luăm toate elementele din ambele mulțimi, o singură dată:
\( X \cup Y = \{a, b, c, d, e\} \).
\( X \cup Y = \{a, b, c, d, e\} \).
Intersecția mulțimilor \( A \) și \( B \), notată \( A \cap B \), este mulțimea formată din elementele comune mulțimilor \( A \) și \( B \).
Două mulțimi a căror intersecție este mulțimea vidă (\( A \cap B = \emptyset \)) se numesc mulțimi disjuncte.
\[ x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \in B \]
Dacă \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) și \( B = \{3, 4, 5, 6\} \), atunci \( A \cap B = \{3, 4\} \).
Aflați intersecția mulțimilor \( M = \{2, 4, 6\} \) și \( N = \{1, 3, 5\} \).
Deoarece nu există elemente comune între cele două mulțimi, \( M \cap N = \emptyset \). Mulțimile sunt disjuncte.
Diferența dintre mulțimea \( A \) și mulțimea \( B \), notată \( A \setminus B \), este mulțimea formată din elementele care aparțin mulțimii \( A \) și nu aparțin mulțimii \( B \).
\[ x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \notin B \]
Dacă \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) și \( B = \{3, 4, 5\} \):
\( A \setminus B = \{1, 2\} \) (elementele din \( A \) care nu sunt în \( B \))
\( B \setminus A = \{5\} \) (elementele din \( B \) care nu sunt în \( A \))
\( A \setminus B = \{1, 2\} \) (elementele din \( A \) care nu sunt în \( B \))
\( B \setminus A = \{5\} \) (elementele din \( B \) care nu sunt în \( A \))
Fie \( P = \{a, e, i, o, u\} \) și \( Q = \{a, b, c, d, e\} \). Calculați \( P \setminus Q \).
Căutăm elementele care sunt în \( P \), dar nu se regăsesc în \( Q \).
Elementele comune sunt \( a \) și \( e \). Prin urmare, le eliminăm din \( P \).
\( P \setminus Q = \{i, o, u\} \).
Elementele comune sunt \( a \) și \( e \). Prin urmare, le eliminăm din \( P \).
\( P \setminus Q = \{i, o, u\} \).
Numărul de elemente al unei mulțimi finite \( A \) se numește cardinalul mulțimii și se notează \( \text{card } A \) sau \( \text{card}(A) \).
Pentru orice două mulțimi finite \( A \) și \( B \), este valabilă formula:
\[ \text{card}(A \cup B) = \text{card } A + \text{card } B - \text{card}(A \cap B) \]
De asemenea, reuniunea se poate calcula adunând părțile disjuncte:
\[ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A \setminus B) + \text{card}(A \cap B) + \text{card}(B \setminus A) \]
Știind că \( \text{card } A = 10 \), \( \text{card } B = 7 \) și \( \text{card}(A \cap B) = 3 \), aflați \( \text{card}(A \cup B) \).
Aplicăm formula: \( \text{card}(A \cup B) = \text{card } A + \text{card } B - \text{card}(A \cap B) \).
\( \text{card}(A \cup B) = 10 + 7 - 3 = 17 \).
\( \text{card}(A \cup B) = 10 + 7 - 3 = 17 \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Se consideră mulțimile \( A = \{0, 1, 2, 4\} \) și \( B = \{2, 3, 4, 5\} \).
Determinați \( A \cup B \), \( A \cap B \), \( A \setminus B \) și \( B \setminus A \).
- Reuniunea (toate elementele): \( A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
- Intersecția (elementele comune): \( A \cap B = \{2, 4\} \)
- Diferența \( A \setminus B \) (doar în A): \( A \setminus B = \{0, 1\} \)
- Diferența \( B \setminus A \) (doar în B): \( B \setminus A = \{3, 5\} \)
Medie: Determinați mulțimile \( A \) și \( B \), știind că îndeplinesc simultan condițiile:
1) \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2) \( A \cap B = \{3, 4\} \)
3) \( A \setminus B = \{1, 2\} \)
1) \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2) \( A \cap B = \{3, 4\} \)
3) \( A \setminus B = \{1, 2\} \)
Mulțimea \( A \) este formată din elementele care sunt doar în \( A \) plus elementele comune:
\( A = (A \setminus B) \cup (A \cap B) = \{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\} \).
Mulțimea \( B \) va conține intersecția \( \{3, 4\} \) și restul elementelor din reuniune care nu au fost încă folosite (adică \( B \setminus A \)).
Din reuniune rămân nefolosite elementele \( \{5, 6\} \), deci \( B \setminus A = \{5, 6\} \).
\( B = (B \setminus A) \cup (A \cap B) = \{5, 6\} \cup \{3, 4\} = \{3, 4, 5, 6\} \).
\( A = (A \setminus B) \cup (A \cap B) = \{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\} \).
Mulțimea \( B \) va conține intersecția \( \{3, 4\} \) și restul elementelor din reuniune care nu au fost încă folosite (adică \( B \setminus A \)).
Din reuniune rămân nefolosite elementele \( \{5, 6\} \), deci \( B \setminus A = \{5, 6\} \).
\( B = (B \setminus A) \cup (A \cap B) = \{5, 6\} \cup \{3, 4\} = \{3, 4, 5, 6\} \).
Dificilă: Într-o clasă de 28 de elevi, toți participă la cel puțin un club școlar. 18 elevi participă la clubul de matematică (\( M \)), iar 15 elevi participă la clubul de lectură (\( L \)). Câți elevi participă la ambele cluburi? Dar numai la clubul de matematică?
Folosim formula cardinalelor:
\( \text{card}(M \cup L) = \text{card } M + \text{card } L - \text{card}(M \cap L) \)
Știm că:
\( \text{card}(M \cup L) = 28 \) (totalul elevilor)
\( \text{card } M = 18 \)
\( \text{card } L = 15 \)
Înlocuim în formulă:
\( 28 = 18 + 15 - \text{card}(M \cap L) \)
\( 28 = 33 - \text{card}(M \cap L) \Rightarrow \text{card}(M \cap L) = 33 - 28 = 5 \).
Deci, 5 elevi participă la ambele cluburi.
Pentru a afla câți participă numai la matematică, calculăm cardinalul diferenței \( M \setminus L \):
\( \text{card}(M \setminus L) = \text{card } M - \text{card}(M \cap L) = 18 - 5 = 13 \).
Deci, 13 elevi participă numai la clubul de matematică.
\( \text{card}(M \cup L) = \text{card } M + \text{card } L - \text{card}(M \cap L) \)
Știm că:
\( \text{card}(M \cup L) = 28 \) (totalul elevilor)
\( \text{card } M = 18 \)
\( \text{card } L = 15 \)
Înlocuim în formulă:
\( 28 = 18 + 15 - \text{card}(M \cap L) \)
\( 28 = 33 - \text{card}(M \cap L) \Rightarrow \text{card}(M \cap L) = 33 - 28 = 5 \).
Deci, 5 elevi participă la ambele cluburi.
Pentru a afla câți participă numai la matematică, calculăm cardinalul diferenței \( M \setminus L \):
\( \text{card}(M \setminus L) = \text{card } M - \text{card}(M \cap L) = 18 - 5 = 13 \).
Deci, 13 elevi participă numai la clubul de matematică.
