Lecția IV.10 conține următoarele grupuri de exerciții:
IV.10. Alegeți Varianta Corectă De Răspuns. Doar Un Răspuns Este Corect.
IV.10. Scrieți Rezolvările Complete.
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( a = \left(-\frac{1}{5}\right)^{-1} = -5 \in \mathbb{Z} \)
\( b = \frac{1}{\cancel{4}_1} \cdot \left(-\frac{\cancel{8}^2}{3}\right) - \left(\frac{15}{3} - \frac{5}{3}\right) = -\frac{2}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{12}{3} = -4 \in \mathbb{Z} \)
\( c = \frac{24}{-32} - 2,75 = -\frac{3}{4} - 2,75 = -0,75 - 2,75 = -3,5 \notin \mathbb{Z} \)
Numărul \( c = -3,5 \) este rațional, dar nu este întreg.
b)
\( d = \frac{a \cdot b \cdot c}{-7} \)
\( d = \frac{(-5) \cdot (-4) \cdot (-3,5)}{-7} \)
\( d = \frac{20 \cdot (-3,5)}{-7} \)
\( d = \frac{-70}{-7} = 10 \)
\( 10 \in \mathbb{N} \implies d \) este număr natural.
Rezolvare detaliată
Pentru a rezolva această problemă, vom calcula mai întâi valorile numerelor \( a \), \( b \) și \( c \), respectând ordinea efectuării operațiilor și regulile de calcul cu numere raționale.
a) Precizați dacă printre cele trei numere sunt numere raționale care nu sunt numere întregi.
Pasul 1: Calcularea lui \( a \)
Utilizăm regula puterii cu exponent negativ: \( \left(\frac{m}{n}\right)^{-1} = \frac{n}{m} \). \[ a = \left(-\frac{1}{5}\right)^{-1} = -\frac{5}{1} = -5 \] Numărul \( -5 \) aparține mulțimii numerelor întregi (\( -5 \in \mathbb{Z} \)).Pasul 2: Calcularea lui \( b \)
Efectuăm mai întâi înmulțirea și operația din paranteză. Pentru înmulțire, simplificăm: \[ \frac{1}{\cancel{4}_1} \cdot \left(-\frac{\cancel{8}^2}{3}\right) = -\frac{2}{3} \] Pentru paranteză, aducem la același numitor: \[ 5 - \frac{5}{3} = \frac{15}{3} - \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \] Acum scădem rezultatele: \[ b = -\frac{2}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{12}{3} = -4 \] Numărul \( -4 \) aparține mulțimii numerelor întregi (\( -4 \in \mathbb{Z} \)).Pasul 3: Calcularea lui \( c \)
Efectuăm împărțirea sub formă de fracție și transformăm în fracție zecimală: \[ 24 : (-32) = -\frac{24}{32} = -\frac{\cancel{24}^3}{\cancel{32}_4} = -\frac{3}{4} = -0,75 \] Calculăm valoarea lui \( c \): \[ c = -0,75 - 2,75 = -3,5 \] Deoarece \( -3,5 \) are parte zecimală nevidă, acesta este un număr rațional care nu este întreg (\( c \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \)). Concluzie: Da, numărul \( c = -3,5 \) este un număr rațional care nu este număr întreg.b) Arătați că numărul \( d = \frac{a \cdot b \cdot c}{-7} \) este număr natural.
Pasul 1: Înlocuirea valorilor în formula lui \( d \)
Folosim valorile calculate anterior: \( a = -5 \), \( b = -4 \), \( c = -3,5 \). \[ d = \frac{(-5) \cdot (-4) \cdot (-3,5)}{-7} \]Pasul 2: Efectuarea înmulțirii de la numărător
Înmulțim primele două numere (minus ori minus face plus): \[ (-5) \cdot (-4) = 20 \] Apoi înmulțim cu \( -3,5 \) (plus ori minus face minus): \[ 20 \cdot (-3,5) = -70 \]Pasul 3: Calculul final pentru \( d \)
\[ d = \frac{-70}{-7} \] Împărțim două numere negative, deci rezultatul va fi pozitiv: \[ d = 10 \] Deoarece \( 10 \) este un număr întreg pozitiv, rezultă că \( d \in \mathbb{N} \). Numărul \( d = 10 \) este număr natural.Rezolvare scurtă:
a) \( a = -5 \in \mathbb{Z} \); \( b = -\frac{2}{3} - \frac{10}{3} = -4 \in \mathbb{Z} \); \( c = -0,75 - 2,75 = -3,5 \notin \mathbb{Z} \).
Răspuns: Da, \( c = -3,5 \).
b) \( d = \frac{(-5) \cdot (-4) \cdot (-3,5)}{-7} = \frac{20 \cdot (-3,5)}{-7} = \frac{-70}{-7} = 10 \in \mathbb{N} \).
