Cele mai importante aspecte ale lecției
O inecuație se rezolvă asemănător cu o ecuație: se separă termenii (schimbând semnul la trecerea dintr-un membru în altul) și se reduc termenii asemenea.
Regula fundamentală: La pasul final, dacă se înmulțește sau se împarte prin coeficientul necunoscutei, iar acesta este un număr negativ, sensul inegalității se schimbă obligatoriu (de exemplu, \(>\) devine \(<\)).
Exemplu rapid: \(-5x < 10 \implies x > -2\).
Regula fundamentală: La pasul final, dacă se înmulțește sau se împarte prin coeficientul necunoscutei, iar acesta este un număr negativ, sensul inegalității se schimbă obligatoriu (de exemplu, \(>\) devine \(<\)).
Exemplu rapid: \(-5x < 10 \implies x > -2\).
Dacă într-o ecuație înlocuim semnul egal (\(=\)) cu unul dintre semnele \(<\), \(>\), \(\leq\) sau \(\geq\), obținem o inecuație.
A rezolva o inecuație înseamnă a determina toate valorile numerice dintr-o mulțime dată care fac ca inegalitatea să fie adevărată.
În inecuația \(6x - 2 \geq 3x + 4\):
• Necunoscuta: \(x\)
• Membrii inecuației: Membrul I este \(6x - 2\), iar membrul II este \(3x + 4\).
• Termeni cu necunoscută: \(6x\) și \(3x\) (coeficienții sunt 6 și 3).
• Termeni liberi: \(-2\) și \(+4\).
• Necunoscuta: \(x\)
• Membrii inecuației: Membrul I este \(6x - 2\), iar membrul II este \(3x + 4\).
• Termeni cu necunoscută: \(6x\) și \(3x\) (coeficienții sunt 6 și 3).
• Termeni liberi: \(-2\) și \(+4\).
Două inecuații care au aceeași mulțime de soluții se numesc inecuații echivalente.
Dacă adunăm sau scădem același număr din ambii membri, obținem o inecuație echivalentă.
Dacă trecem un termen dintr-un membru în altul cu semn schimbat, obținem o inecuație echivalentă.
Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu același număr întreg pozitiv, se păstrează sensul inecuației.
Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu același număr întreg negativ, se schimbă sensul inecuației (de exemplu, „\(\geq\)” devine „\(\leq\)”).
Separarea termenilor: Se trec termenii care conțin necunoscuta într-un membru și termenii liberi în celălalt, schimbându-le semnele la mutare.
Efectuarea calculelor: Se fac operațiile în fiecare membru pentru a obține o formă simplă: \(a \cdot x < b\) (sau \(>, \leq, \geq\)).
Obținerea soluției: Se împart ambii membri la coeficientul necunoscutei (\(a\)). Dacă \(a\) este negativ, se schimbă obligatoriu sensul inegalității!
Rezolvați inecuația: \(-2t + 9 \geq 2t + 5\), știind că \(t \in \mathbb{Z}\).
1. Trecem termenii cu necunoscută în stânga și cei liberi în dreapta (cu semn schimbat):
\(-2t - 2t \geq 5 - 9\)
2. Calculăm:
\(-4t \geq -4\)
3. Împărțim la \(-4\). Deoarece împărțim la un număr negativ, sensul se schimbă din \(\geq\) în \(\leq\):
\(t \leq 1\)
Concluzie: Soluția în mulțimea numerelor întregi este \(S = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1\}\).
\(-2t - 2t \geq 5 - 9\)
2. Calculăm:
\(-4t \geq -4\)
3. Împărțim la \(-4\). Deoarece împărțim la un număr negativ, sensul se schimbă din \(\geq\) în \(\leq\):
\(t \leq 1\)
Concluzie: Soluția în mulțimea numerelor întregi este \(S = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1\}\).
Exerciții
Ușoară: Rezolvați în mulțimea numerelor întregi (\(\mathbb{Z}\)) inecuația: \(2x - 4 \geq 10\).
Trecem pe \(-4\) în dreapta cu semn schimbat:
\(2x \geq 10 + 4\)
\(2x \geq 14\)
Împărțim la \(2\) (număr pozitiv, deci păstrăm sensul inecuației):
\(x \geq 7\)
Soluția: \(S = \{7, 8, 9, 10, ...\}\)
\(2x \geq 10 + 4\)
\(2x \geq 14\)
Împărțim la \(2\) (număr pozitiv, deci păstrăm sensul inecuației):
\(x \geq 7\)
Soluția: \(S = \{7, 8, 9, 10, ...\}\)
Medie: Rezolvați în \(\mathbb{Z}\) inecuația: \(-3x + 1 \leq -8\).
Mutăm termenul liber cu semn schimbat:
\(-3x \leq -8 - 1\)
\(-3x \leq -9\)
Împărțim ambii membri la \(-3\). Deoarece \(-3\) este negativ, schimbăm sensul inegalității:
\(x \geq 3\)
Soluția: \(S = \{3, 4, 5, 6, ...\}\)
\(-3x \leq -8 - 1\)
\(-3x \leq -9\)
Împărțim ambii membri la \(-3\). Deoarece \(-3\) este negativ, schimbăm sensul inegalității:
\(x \geq 3\)
Soluția: \(S = \{3, 4, 5, 6, ...\}\)
Dificilă: Rezolvați în \(\mathbb{Z}\) inecuația: \(2(4x + 1) \geq 2(5x - 7)\).
Mai întâi desfacem parantezele înmulțind fiecare termen:
\(8x + 2 \geq 10x - 14\)
Separăm termenii (trecem \(10x\) în stânga și \(2\) în dreapta, cu semne schimbate):
\(8x - 10x \geq -14 - 2\)
\(-2x \geq -16\)
Împărțim la \(-2\). Fiind o împărțire la un număr negativ, inversăm sensul:
\(x \leq 8\)
Soluția: \(S = \{..., 5, 6, 7, 8\}\)
\(8x + 2 \geq 10x - 14\)
Separăm termenii (trecem \(10x\) în stânga și \(2\) în dreapta, cu semne schimbate):
\(8x - 10x \geq -14 - 2\)
\(-2x \geq -16\)
Împărțim la \(-2\). Fiind o împărțire la un număr negativ, inversăm sensul:
\(x \leq 8\)
Soluția: \(S = \{..., 5, 6, 7, 8\}\)
