Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Triunghiurile se pot construi corect utilizând cazurile LUL, ULU și LLL. Celelalte combinații (precum două laturi și un unghi necuprins) nu garantează un triunghi unic.
- Unghiurile de bază la construcție nu pot forma drepte paralele sau divergente (ex: la ULU suma unghiurilor trebuie să fie \( < 180^\circ \)).
- Cea mai importantă regulă de existență a oricărui triunghi (Inegalitatea triunghiului) dictează că nicio latură nu poate fi mai lungă sau egală cu suma celorlalte două (\(a < b + c\)).
- Cel mai mare unghi "privește" întotdeauna către cea mai lungă latură a triunghiului. De aceea, în triunghiul dreptunghic, ipotenuza (opusă unghiului de \(90^\circ\)) este mereu mai mare decât oricare catetă.
Pentru a construi un triunghi unic, este necesar să cunoaștem anumite elemente. Există trei cazuri principale de construcție:
Cazul LUL (latură – unghi – latură)
Se poate construi un triunghi când se cunosc lungimile a două laturi și măsura unghiului determinat de acestea.
Se poate construi un triunghi când se cunosc lungimile a două laturi și măsura unghiului determinat de acestea.
Unghiul dat nu poate fi alungit (\(180^\circ\)). Cele trei puncte ar deveni coliniare și nu ar forma un triunghi.
Cazul ULU (unghi – latură – unghi)
Se poate construi un triunghi când se cunoaște lungimea unei laturi și măsurile unghiurilor alăturate laturii respective.
Se poate construi un triunghi când se cunoaște lungimea unei laturi și măsurile unghiurilor alăturate laturii respective.
Suma măsurilor celor două unghiuri trebuie să fie strict mai mică decât \(180^\circ\) (\( \measuredangle A + \measuredangle B < 180^\circ \)). Dacă suma este \(180^\circ\) sau mai mare, semidreptele nu se vor intersecta.
Cazul LLL (latură – latură – latură)
Se poate construi un triunghi când se cunosc lungimile celor trei laturi. Se folosește compasul pentru a trasa cercuri (sau arce) din capetele primei laturi.
Se poate construi un triunghi când se cunosc lungimile celor trei laturi. Se folosește compasul pentru a trasa cercuri (sau arce) din capetele primei laturi.
Cazul care implică două laturi și un unghi care nu este determinat de acestea (un unghi opus uneia dintre laturi) nu este un caz de construcție, deoarece poate duce la formarea a două triunghiuri diferite, un singur triunghi sau niciunul.
Relația latură-unghi:
În orice triunghi, unei laturi cu lungimea mai mare i se opune un unghi cu măsura mai mare, și reciproc: unui unghi cu măsura mai mare i se opune o latură cu lungimea mai mare.
În orice triunghi, unei laturi cu lungimea mai mare i se opune un unghi cu măsura mai mare, și reciproc: unui unghi cu măsura mai mare i se opune o latură cu lungimea mai mare.
Inegalitatea triunghiului:
Lungimea oricărei laturi este strict mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi și strict mai mare decât modulul diferenței lungimilor acestora.
Lungimea oricărei laturi este strict mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi și strict mai mare decât modulul diferenței lungimilor acestora.
Fie un triunghi cu laturile \(a\), \(b\) și \(c\). Inegalitatea se scrie astfel:
\[ |b - c| < a < b + c \]
Verificăm dacă putem construi un triunghi cu laturile \(2 \text{ cm}\), \(3 \text{ cm}\) și \(6 \text{ cm}\).
Calculăm suma celor mai mici laturi: \(2 + 3 = 5\).
Deoarece \(6 > 5\) (latura nu este mai mică decât suma celorlalte două), triunghiul nu există.
Calculăm suma celor mai mici laturi: \(2 + 3 = 5\).
Deoarece \(6 > 5\) (latura nu este mai mică decât suma celorlalte două), triunghiul nu există.
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea oricărei catete este strict mai mică decât lungimea ipotenuzei.
Probleme practice
Ușoară: Se poate construi un triunghi care să aibă laturile de \( 4 \text{ cm} \), \( 7 \text{ cm} \) și \( 11 \text{ cm} \)? Justificați.
Aplicăm inegalitatea triunghiului. Suma lungimilor a două laturi trebuie să fie strict mai mare decât a treia latură.
Adunăm laturile mai mici: \( 4 + 7 = 11 \).
Deoarece suma lor este egală cu a treia latură (\( 11 = 11 \)), cercurile trasate din capetele laturii de \( 11 \text{ cm} \) ar fi tangente pe segment, deci punctele ar fi coliniare.
Răspuns: Nu, triunghiul nu se poate construi.
Adunăm laturile mai mici: \( 4 + 7 = 11 \).
Deoarece suma lor este egală cu a treia latură (\( 11 = 11 \)), cercurile trasate din capetele laturii de \( 11 \text{ cm} \) ar fi tangente pe segment, deci punctele ar fi coliniare.
Răspuns: Nu, triunghiul nu se poate construi.
Medie: Într-un triunghi \( ABC \), se cunoaște că \( \measuredangle A = 75^\circ \) și \( \measuredangle B = 45^\circ \). Scrieți laturile triunghiului în ordine crescătoare a lungimilor lor.
Pasul 1: Aflăm măsura celui de-al treilea unghi. Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \).
\( \measuredangle C = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Pasul 2: Ordonăm unghiurile crescător.
\( \measuredangle B < \measuredangle C < \measuredangle A \) (deoarece \( 45^\circ < 60^\circ < 75^\circ \)).
Pasul 3: Folosim teorema inegalităților: unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Unghiul \(A\) se opune laturii \(BC\), \(B\) se opune laturii \(AC\), \(C\) se opune laturii \(AB\).
Răspuns: Ordinea laturilor este \( AC < AB < BC \).
\( \measuredangle C = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Pasul 2: Ordonăm unghiurile crescător.
\( \measuredangle B < \measuredangle C < \measuredangle A \) (deoarece \( 45^\circ < 60^\circ < 75^\circ \)).
Pasul 3: Folosim teorema inegalităților: unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Unghiul \(A\) se opune laturii \(BC\), \(B\) se opune laturii \(AC\), \(C\) se opune laturii \(AB\).
Răspuns: Ordinea laturilor este \( AC < AB < BC \).
Dificilă: Perimetrul unui triunghi isoscel este egal cu \( 10 \text{ cm} \), iar lungimea uneia dintre laturi este egală cu \( 2 \text{ cm} \). Folosind inegalitatea triunghiului, determinați lungimile celorlalte două laturi.
Într-un triunghi isoscel, două laturi sunt egale. Avem două cazuri posibile pentru laturile triunghiului:
Cazul 1: Laturile sunt \( 2 \text{ cm}, 2 \text{ cm} \) și \( x \text{ cm} \).
Perimetrul este \( 2 + 2 + x = 10 \implies x = 6 \text{ cm} \). Laturile ar fi \( 2, 2, 6 \).
Verificăm inegalitatea: \( 2 + 2 = 4 \), iar \( 4 < 6 \). Inegalitatea nu se verifică, deci acest triunghi nu există.
Cazul 2: Laturile sunt \( x \text{ cm}, x \text{ cm} \) și \( 2 \text{ cm} \).
Perimetrul este \( x + x + 2 = 10 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \text{ cm} \). Laturile ar fi \( 4, 4, 2 \).
Verificăm inegalitatea: \( 4 + 2 = 6 > 4 \) (Adevărat).
Răspuns: Celelalte două laturi au lungimea de \( 4 \text{ cm} \) fiecare.
Cazul 1: Laturile sunt \( 2 \text{ cm}, 2 \text{ cm} \) și \( x \text{ cm} \).
Perimetrul este \( 2 + 2 + x = 10 \implies x = 6 \text{ cm} \). Laturile ar fi \( 2, 2, 6 \).
Verificăm inegalitatea: \( 2 + 2 = 4 \), iar \( 4 < 6 \). Inegalitatea nu se verifică, deci acest triunghi nu există.
Cazul 2: Laturile sunt \( x \text{ cm}, x \text{ cm} \) și \( 2 \text{ cm} \).
Perimetrul este \( x + x + 2 = 10 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \text{ cm} \). Laturile ar fi \( 4, 4, 2 \).
Verificăm inegalitatea: \( 4 + 2 = 6 > 4 \) (Adevărat).
Răspuns: Celelalte două laturi au lungimea de \( 4 \text{ cm} \) fiecare.
