V.15. Scrieți Rezolvările Complete

Pentru a rezolva această problemă, vom analiza unghiurile formate de dreptele \( a \) și \( b \) cu secantele \( c \) și \( d \).

a) stabiliți dacă dreptele \( a \) și \( b \) sunt paralele

Pasul 1: Analiza unghiurilor formate de secanta c

Observăm în figură că secanta \( c \) intersectează dreptele \( a \) și \( b \). - Pe dreapta \( a \), avem un unghi cu măsura de \( 130^\circ \). - Pe dreapta \( b \), avem un unghi cu măsura de \( 50^\circ \). Aceste două unghiuri sunt în poziție de unghiuri interne de aceeași parte a secantei.

Pasul 2: Verificarea criteriului de paralelism

Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma lor este \( 180^\circ \)). Calculăm suma măsurilor: \[ S = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ \] Deoarece suma este exact \( 180^\circ \), rezultă conform criteriului de paralelism că dreptele \( a \) și \( b \) sunt paralele (\( a \parallel b \)).

b) determinați valoarea numărului x

Pasul 1: Identificarea relației dintre unghiurile de pe secanta d

Știm deja de la punctul anterior că \( a \parallel b \). Analizăm acum unghiurile formate de secanta \( d \): - Un unghi are măsura \( (2x + 40)^\circ \) (situat deasupra dreptei \( a \), la dreapta secantei). - Celălalt unghi are măsura \( (3x + 25)^\circ \) (situat între dreptele \( a \) și \( b \), la stânga secantei). Aceste unghiuri nu sunt într-o poziție standard directă, așa că vom folosi un unghi auxiliar. Unghiul opus la vârf cu cel de \( (3x + 25)^\circ \) este unghiul intern de pe dreapta \( b \), în dreapta secantei. Acesta va fi suplementar cu unghiul de \( (2x + 40)^\circ \) dacă le privim ca unghiuri corespondente și suplemente. Mai simplu, observăm că unghiurile \( (3x + 25)^\circ \) și cel alterne interne cu el (pe dreapta \( a \)) sunt congruente. Unghiul \( (2x + 40)^\circ \) și unghiul corespondent lui de pe dreapta \( b \) sunt de asemenea utile. Cea mai directă metodă: unghiul de \( (3x + 25)^\circ \) și unghiul de \( (2x + 40)^\circ \) sunt interne de aceeași parte a secantei după ce îl mutăm pe cel de sus prin opus la vârf și apoi corespondent? Nu, ele sunt în poziție de unghiuri interne de aceeași parte a secantei dacă considerăm unghiul de sus mutat jos. De fapt, unghiul de \( (2x + 40)^\circ \) și cel de \( (3x + 25)^\circ \) sunt interne de aceeași parte a secantei dacă privim configurația: unghiul \( (3x + 25)^\circ \) este sub dreapta \( a \), iar unghiul de \( (2x + 40)^\circ \) este deasupra. Mai corect: Unghiul \( (2x + 40)^\circ \) este corespondent cu unghiul de sub dreapta \( b \) (tot în dreapta secantei). Unghiul \( (3x + 25)^\circ \) este alterne interne cu unghiul de pe dreapta \( a \) (dreapta secantei, sub \( a \)). Din figură, unghiurile \( (3x + 25)^\circ \) și \( (2x + 40)^\circ \) sunt alterne interne? Nu. Ele sunt interne de aceeași parte a secantei (dacă translatăm unghiul de sus). Suma lor trebuie să fie \( 180^\circ \). \[ (3x + 25)^\circ + (2x + 40)^\circ = 180^\circ \]

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

\[ 3x + 2x + 25 + 40 = 180 \] \[ 5x + 65 = 180 \] \[ 5x = 180 - 65 \] \[ 5x = 115 \] \[ x = 115 : 5 \] \[ x = 23 \]

a) \( 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ \) (interne de aceeași parte a secantei \( c \)) \( \Rightarrow a \parallel b \). b) \( a \parallel b \Rightarrow (3x + 25) + (2x + 40) = 180 \) (interne de aceeași parte a secantei \( d \)) \( 5x + 65 = 180 \Rightarrow 5x = 115 \Rightarrow x = 23 \).