Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte fundamentale de reținut:
- Unghiurile opuse la vârf: Apar la intersecția a două drepte (față în față) și sunt mereu egale (congruente). Exemplu: Dacă intersecția formează un unghi de \( 40^\circ \), cel opus lui are tot \( 40^\circ \).
- Unghiurile în jurul unui punct: Indiferent câte unghiuri se formează în jurul unui singur vârf comun (fără să se suprapună), suma măsurilor lor este întotdeauna \( 360^\circ \).
Două unghiuri care au același vârf, iar laturile lor formează perechi de semidrepte opuse, se numesc unghiuri opuse la vârf. Ele se formează, de regulă, la intersecția a două drepte.
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente (au aceeași măsură).
La intersecția a două drepte se formează patru unghiuri. Pe lângă faptul că unghiurile opuse la vârf sunt egale, unghiurile alăturate formează un unghi alungit, deci suma măsurilor lor este \( 180^\circ \).
Dacă dreptele \( AB \) și \( CD \) se intersectează în punctul \( O \), ele formează unghiurile opuse la vârf \( \sphericalangle AOC \) și \( \sphericalangle BOD \).
Dacă măsura \( \sphericalangle AOC = 45^\circ \), atunci obligatoriu și măsura \( \sphericalangle BOD = 45^\circ \).
Dacă măsura \( \sphericalangle AOC = 45^\circ \), atunci obligatoriu și măsura \( \sphericalangle BOD = 45^\circ \).
Două drepte concurente formează un unghi cu măsura de \( 120^\circ \). Care este măsura unghiului opus la vârf?
Conform teoremei, unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
Răspuns: Măsura unghiului opus este tot de \( 120^\circ \).
Răspuns: Măsura unghiului opus este tot de \( 120^\circ \).
Mai multe unghiuri sunt considerate formate în jurul unui punct dacă îndeplinesc două condiții:
- Au toate același vârf comun.
- Oricare două dintre unghiuri au interioarele disjuncte (nu au niciun punct comun în interiorul lor, nu se suprapun).
Suma măsurilor tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu \( 360^\circ \).
\[ \sphericalangle 1 + \sphericalangle 2 + \sphericalangle 3 + \dots + \sphericalangle n = 360^\circ \]
În jurul unui punct \( O \) s-au format trei unghiuri. Dacă primele două au măsurile de \( 100^\circ \) și, respectiv, \( 150^\circ \), care este măsura celui de-al treilea unghi?
Suma totală a unghiurilor trebuie să fie \( 360^\circ \).
\( 100^\circ + 150^\circ + x = 360^\circ \)
\( 250^\circ + x = 360^\circ \)
\( x = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ \).
Răspuns: Măsura celui de-al treilea unghi este \( 110^\circ \).
\( 100^\circ + 150^\circ + x = 360^\circ \)
\( 250^\circ + x = 360^\circ \)
\( x = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ \).
Răspuns: Măsura celui de-al treilea unghi este \( 110^\circ \).
Exerciții și probleme
Nivel Ușor:
Se consideră două unghiuri opuse la vârf. Dacă unul dintre ele are măsura de \( 73^\circ \), care este suma măsurilor celor două unghiuri opuse la vârf?
Deoarece unghiurile sunt opuse la vârf, ele sunt congruente.
Măsura celui de-al doilea unghi este tot \( 73^\circ \).
Suma lor: \( 73^\circ + 73^\circ = 146^\circ \).
Măsura celui de-al doilea unghi este tot \( 73^\circ \).
Suma lor: \( 73^\circ + 73^\circ = 146^\circ \).
Nivel Mediu:
În jurul unui punct sunt formate patru unghiuri. Măsurile lor sunt reprezentate prin \( x \), \( 2x \), \( 3x \) și \( 4x \). Aflați măsura fiecărui unghi.
Știm că suma unghiurilor în jurul unui punct este \( 360^\circ \).
Scriem ecuația: \( x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ \)
\( 10x = 360^\circ \)
\( x = 360^\circ : 10 = 36^\circ \)
Acum calculăm fiecare unghi:
Scriem ecuația: \( x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ \)
\( 10x = 360^\circ \)
\( x = 360^\circ : 10 = 36^\circ \)
Acum calculăm fiecare unghi:
- Primul: \( x = 36^\circ \)
- Al doilea: \( 2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \)
- Al treilea: \( 3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ \)
- Al patrulea: \( 4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ \)
Nivel Dificil:
Două drepte concurente formează patru unghiuri cu vârful în punctul de intersecție. Dacă suma măsurilor a trei dintre aceste unghiuri este egală cu \( 310^\circ \), aflați măsurile tuturor celor patru unghiuri.
Notăm cele 4 unghiuri, știind că împreună sunt formate în jurul unui punct, deci suma tuturor celor 4 este \( 360^\circ \).
Dacă suma a 3 dintre ele este \( 310^\circ \), al patrulea unghi va avea măsura:
\( 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ \).
Acest unghi formează o pereche cu unghiul său opus la vârf, deci și unghiul opus va avea tot \( 50^\circ \).
Celelalte două unghiuri (de asemenea opuse la vârf între ele) formează, împreună cu cel de \( 50^\circ \), unghiuri alungite (de \( 180^\circ \)).
Măsura lor va fi: \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Răspuns: Cele patru unghiuri au măsurile: \( 50^\circ \), \( 130^\circ \), \( 50^\circ \) și \( 130^\circ \).
Dacă suma a 3 dintre ele este \( 310^\circ \), al patrulea unghi va avea măsura:
\( 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ \).
Acest unghi formează o pereche cu unghiul său opus la vârf, deci și unghiul opus va avea tot \( 50^\circ \).
Celelalte două unghiuri (de asemenea opuse la vârf între ele) formează, împreună cu cel de \( 50^\circ \), unghiuri alungite (de \( 180^\circ \)).
Măsura lor va fi: \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Răspuns: Cele patru unghiuri au măsurile: \( 50^\circ \), \( 130^\circ \), \( 50^\circ \) și \( 130^\circ \).
