Cele mai importante aspecte ale lecției
- Mulțimea \( \mathbb{Z} \): Conține numere negative (\( - \)), zero și numere pozitive (\( + \)). Ex: \( -3, 0, +7 \).
- Opusul: Același număr, cu semn schimbat. Opusul lui \( -5 \) este \( +5 \). Opusul lui \( 0 \) este \( 0 \).
- Modulul \( |x| \): Distanța pe axă de la \( 0 \) la număr, întotdeauna pozitivă (sau zero). Ex: \( |-9| = 9 \).
- Ordonare: Orice număr negativ este mai mic decât \( 0 \) și decât orice număr pozitiv. Dintre două negative, cel mai „mare” în valoare absolută este de fapt cel mai mic. (Ex: \( -10 < -1 \)).
Prin număr întreg înțelegem numărul zero sau orice număr natural nenul precedat de semnul „+” (pozitiv) sau de semnul „−” (negativ).
Mulțimea numerelor întregi se notează cu \( \mathbb{Z} \).
- Mulțimea numerelor întregi negative: \( \mathbb{Z}_{-} = \{ \dots, -4, -3, -2, -1 \} \)
- Mulțimea numerelor întregi pozitive: \( \mathbb{Z}_{+} = \{ +1, +2, +3, +4, +5, \dots \} \)
- Mulțimea numerelor întregi: \( \mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \dots \} \)
Mulțimea numerelor întregi este formată din numerele negative, zero și numerele pozitive: \( \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_{-} \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}_{+} \).
Orice număr natural nenul este și un număr întreg pozitiv. De exemplu, putem scrie \( +5 \) simplu ca \( 5 \).
Orice număr natural nenul este și un număr întreg pozitiv. De exemplu, putem scrie \( +5 \) simplu ca \( 5 \).
Temperaturile sub zero grade se exprimă prin numere negative (\( -15^{\circ}\text{C} \)), iar cele peste zero grade prin numere pozitive (\( +25^{\circ}\text{C} \)). Altitudinile (munții) se notează cu „+”, iar adâncimile (oceanele) cu „−”.
Axa numerelor întregi este o dreaptă pe care se fixează un punct numit origine (notat cu 0), o unitate de măsură și două sensuri: unul pozitiv (spre dreapta) și unul negativ (spre stânga).
Pe axa numerelor, unde se vor afla reprezentările numerelor \( -7 \) și \( +4 \) față de origine?
Numărul \( -7 \) se va afla la stânga originii (deoarece este negativ), iar numărul \( +4 \) se va afla la dreapta originii (deoarece este pozitiv).
Două numere întregi a căror reprezentare diferă numai prin semn se numesc numere întregi opuse. Opusul numărului 0 este tot 0.
Opusul unui număr întreg se obține scriind semnul „−” în fața numărului respectiv. Când avem două semne de minus alăturate, rezultatul devine pozitiv:
\[ -(+a) = -a \]
\[ -(-a) = +a \]
- Opusul lui \( +7 \) este \( -7 \).
- Opusul lui \( -12 \) este \( -(-12) = +12 \).
Scrieți opusele numerelor: \( -45, 0, +13 \).
Opusul lui \( -45 \) este \( +45 \).
Opusul lui \( 0 \) este \( 0 \).
Opusul lui \( +13 \) este \( -13 \).
Opusul lui \( 0 \) este \( 0 \).
Opusul lui \( +13 \) este \( -13 \).
Modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg reprezintă distanța pe axa numerelor de la origine (0) până la punctul care reprezintă numărul respectiv. Practic, este numărul format fără semnul său.
Modulul unui număr \( x \) se notează între două bare verticale: \( |x| \).
Modulul oricărui număr întreg nenul este un număr pozitiv (natural).
Modulul numărului 0 este 0: \( |0| = 0 \).
Două numere opuse au întotdeauna același modul: \( |-a| = |+a| \).
Modulul numărului 0 este 0: \( |0| = 0 \).
Două numere opuse au întotdeauna același modul: \( |-a| = |+a| \).
Distanța de la 0 la \( -5 \) este de 5 unități, deci: \( |-5| = 5 \).
Distanța de la 0 la \( +3 \) este de 3 unități, deci: \( |+3| = 3 \).
Distanța de la 0 la \( +3 \) este de 3 unități, deci: \( |+3| = 3 \).
Pe axa numerelor, dintre două numere întregi, cel mai mic se află întotdeauna la stânga celui mai mare.
- Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv (ex: \( -100 < +1 \)).
- Orice număr negativ este mai mic decât 0 (ex: \( -5 < 0 \)).
- Orice număr pozitiv este mai mare decât 0 (ex: \( +8 > 0 \)).
- Dintre două numere negative, este mai mic numărul care are modulul mai mare (adică cel care este mai departe de zero pe axă).
Să comparăm \( -15 \) și \( -2 \):
Deoarece \( |-15| = 15 \) și \( |-2| = 2 \), modulul lui \( -15 \) este mai mare. Astfel, \( -15 \) se află mai la stânga pe axă, deci \( -15 < -2 \).
Deoarece \( |-15| = 15 \) și \( |-2| = 2 \), modulul lui \( -15 \) este mai mare. Astfel, \( -15 \) se află mai la stânga pe axă, deci \( -15 < -2 \).
Probleme pentru exersare
Ușoară: Pentru numărul întreg \( -24 \), determinați opusul său și modulul său.
- Opusul numărului \( -24 \) se obține schimbându-i semnul: \( -(-24) = +24 \).
- Modulul reprezintă valoarea fără semn: \( |-24| = 24 \).
Medie: Ordonați crescător următoarele numere întregi: \( +3, -7, 0, -1, +15, -12 \).
Ordonarea crescătoare înseamnă de la cel mai mic la cel mai mare.
Mai întâi comparăm numerele negative: \( -12, -7, -1 \). Dintre acestea, cel cu modulul cel mai mare este cel mai mic: \( -12 < -7 < -1 \).
Apoi urmează \( 0 \).
La final, numerele pozitive în ordinea obișnuită: \( +3 < +15 \).
Șirul ordonat: \( -12, -7, -1, 0, +3, +15 \).
Mai întâi comparăm numerele negative: \( -12, -7, -1 \). Dintre acestea, cel cu modulul cel mai mare este cel mai mic: \( -12 < -7 < -1 \).
Apoi urmează \( 0 \).
La final, numerele pozitive în ordinea obișnuită: \( +3 < +15 \).
Șirul ordonat: \( -12, -7, -1, 0, +3, +15 \).
Dificilă: Determinați elementele mulțimii \( A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 2 \} \), apoi calculați modulele tuturor elementelor obținute.
Mulțimea \( A \) conține toate numerele întregi cuprinse între \( -3 \) (inclusiv) și \( 2 \) (exclusiv).
\( A = \{ -3, -2, -1, 0, +1 \} \)
Calculăm modulele elementelor:
\( A = \{ -3, -2, -1, 0, +1 \} \)
Calculăm modulele elementelor:
- \( |-3| = 3 \)
- \( |-2| = 2 \)
- \( |-1| = 1 \)
- \( |0| = 0 \)
- \( |+1| = 1 \)
