Cele mai importante aspecte ale lecției
Congruența triunghiurilor implică laturi și unghiuri omoloage congruente (se respectă strict ordinea literelor).
Criterii triunghiuri oarecare:
Criterii triunghiuri oarecare:
- LUL: două laturi și unghiul dintre ele.
- ULU: o latură și unghiurile alăturate ei.
- LLL: toate cele trei laturi.
- CC: catetă–catetă.
- CU: catetă–unghi.
- IU: ipotenuză–unghi.
Două triunghiuri se numesc triunghiuri congruente dacă au toate laturile și toate unghiurile respectiv congruente.
Scriem \( \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \) și citim „triunghiul \( ABC \) este congruent cu triunghiul \( A'B'C' \)”.
Aceasta înseamnă că avem 6 congruențe:
Laturi: \( AB \equiv A'B' \), \( BC \equiv B'C' \), \( AC \equiv A'C' \)
Unghiuri: \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \), \( \measuredangle B \equiv \measuredangle B' \), \( \measuredangle C \equiv \measuredangle C' \)
Laturi: \( AB \equiv A'B' \), \( BC \equiv B'C' \), \( AC \equiv A'C' \)
Unghiuri: \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \), \( \measuredangle B \equiv \measuredangle B' \), \( \measuredangle C \equiv \measuredangle C' \)
Perechile de laturi congruente, respectiv perechile de unghiuri congruente se numesc laturi omoloage, respectiv unghiuri omoloage.
În scrierea congruenței a două triunghiuri, ordinea literelor este esențială! Literele care reprezintă vârfurile unghiurilor congruente trebuie să ocupe aceeași poziție în denumirile celor două triunghiuri.
Pentru a dovedi congruența a două triunghiuri, nu este nevoie să verificăm toate cele 6 elemente. Este suficient să demonstrăm congruența a trei elemente (dintre care cel puțin o latură), folosind unul dintre următoarele criterii.
Criteriul LUL (latură–unghi–latură)
Două triunghiuri care au două laturi și unghiul determinat de acestea respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( AB \equiv A'B' \), \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( AC \equiv A'C' \), atunci \( \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \).
Două triunghiuri care au două laturi și unghiul determinat de acestea respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( AB \equiv A'B' \), \( \measuredangle A \equiv \measuredangle A' \) și \( AC \equiv A'C' \), atunci \( \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \).
Criteriul ULU (unghi–latură–unghi)
Două triunghiuri care au câte o latură și unghiurile alăturate acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( \measuredangle D \equiv \measuredangle D' \), \( DE \equiv D'E' \), \( \measuredangle E \equiv \measuredangle E' \), atunci \( \triangle DEF \equiv \triangle D'E'F' \).
Două triunghiuri care au câte o latură și unghiurile alăturate acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( \measuredangle D \equiv \measuredangle D' \), \( DE \equiv D'E' \), \( \measuredangle E \equiv \measuredangle E' \), atunci \( \triangle DEF \equiv \triangle D'E'F' \).
Criteriul LLL (latură–latură–latură)
Două triunghiuri care au laturile respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( MN \equiv M'N' \), \( NP \equiv N'P' \) și \( MP \equiv M'P' \), atunci \( \triangle MNP \equiv \triangle M'N'P' \).
Două triunghiuri care au laturile respectiv congruente sunt congruente.
Dacă \( MN \equiv M'N' \), \( NP \equiv N'P' \) și \( MP \equiv M'P' \), atunci \( \triangle MNP \equiv \triangle M'N'P' \).
Deoarece triunghiurile dreptunghice au deja unghiurile drepte congruente (\(90^\circ\)), pentru a stabili congruența lor este suficient să identificăm doar două elemente congruente (dintre care cel puțin o latură).
Cazul CC (catetă–catetă) - provenit din criteriul LUL
Dacă cele două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt congruente cu catetele celuilalt triunghi dreptunghic, atunci triunghiurile sunt congruente.
Dacă \( AB \equiv MN \) și \( AC \equiv MP \), atunci \( \triangle ABC \equiv \triangle MNP \).
Dacă cele două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt congruente cu catetele celuilalt triunghi dreptunghic, atunci triunghiurile sunt congruente.
Dacă \( AB \equiv MN \) și \( AC \equiv MP \), atunci \( \triangle ABC \equiv \triangle MNP \).
Cazul CU (catetă–unghi) - provenit din criteriul ULU
Dacă o catetă și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt congruente cu elementele corespunzătoare din celălalt triunghi dreptunghic, atunci ele sunt congruente.
Dacă \( DE \equiv GK \) și \( \measuredangle DEF \equiv \measuredangle GKH \), atunci \( \triangle DEF \equiv \triangle GKH \).
Dacă o catetă și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt congruente cu elementele corespunzătoare din celălalt triunghi dreptunghic, atunci ele sunt congruente.
Dacă \( DE \equiv GK \) și \( \measuredangle DEF \equiv \measuredangle GKH \), atunci \( \triangle DEF \equiv \triangle GKH \).
Cazul IU (ipotenuză–unghi) - provenit din criteriul ULU
Dacă ipotenuza și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt congruente cu ipotenuza și un unghi ascuțit din celălalt triunghi dreptunghic, atunci ele sunt congruente.
Dacă \( RT \equiv VU \) și \( \measuredangle RTS \equiv \measuredangle VUX \), atunci \( \triangle RTS \equiv \triangle VUX \).
Dacă ipotenuza și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt congruente cu ipotenuza și un unghi ascuțit din celălalt triunghi dreptunghic, atunci ele sunt congruente.
Dacă \( RT \equiv VU \) și \( \measuredangle RTS \equiv \measuredangle VUX \), atunci \( \triangle RTS \equiv \triangle VUX \).
Probleme de practică
Ușoară: Se știe că \( \triangle ABC \equiv \triangle MNP \). Dacă \( AB = 5 \text{ cm} \), \( \measuredangle B = 60^\circ \) și \( AC = 7 \text{ cm} \), precizați lungimile laturilor \( MN \), \( MP \) și măsura unghiului \( N \).
Din congruența \( \triangle ABC \equiv \triangle MNP \) rezultă congruența elementelor omoloage (urmărind ordinea literelor):
\( AB \equiv MN \Rightarrow MN = 5 \text{ cm} \)
\( AC \equiv MP \Rightarrow MP = 7 \text{ cm} \)
\( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \Rightarrow \measuredangle N = 60^\circ \)
\( AB \equiv MN \Rightarrow MN = 5 \text{ cm} \)
\( AC \equiv MP \Rightarrow MP = 7 \text{ cm} \)
\( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \Rightarrow \measuredangle N = 60^\circ \)
Medie: Fie triunghiurile \( \triangle ABD \) și \( \triangle CDB \) care au latura \( BD \) comună. Se cunoaște că \( AB \equiv CD \) și \( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CDB \). Demonstrați că \( AD \equiv CB \).
Analizăm triunghiurile \( \triangle ABD \) și \( \triangle CDB \):
1. \( AB \equiv CD \) (din ipoteză)
2. \( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CDB \) (din ipoteză)
3. \( BD \equiv DB \) (latură comună)
Conform criteriului LUL (latură-unghi-latură), rezultă că \( \triangle ABD \equiv \triangle CDB \).
Din congruența triunghiurilor rezultă că toate elementele lor omoloage sunt congruente, deci \( AD \equiv CB \).
1. \( AB \equiv CD \) (din ipoteză)
2. \( \measuredangle ABD \equiv \measuredangle CDB \) (din ipoteză)
3. \( BD \equiv DB \) (latură comună)
Conform criteriului LUL (latură-unghi-latură), rezultă că \( \triangle ABD \equiv \triangle CDB \).
Din congruența triunghiurilor rezultă că toate elementele lor omoloage sunt congruente, deci \( AD \equiv CB \).
Dificilă: În triunghiurile dreptunghice \( \triangle ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) și \( \triangle DEF \) (\( \measuredangle D = 90^\circ \)), se știe că \( BC \equiv EF \) și \( \measuredangle C \equiv \measuredangle F \). Demonstrați că \( AB \equiv DE \).
Triunghiurile sunt dreptunghice. Analizăm elementele congruente date:
1. \( BC \equiv EF \) (ipotenuze congruente)
2. \( \measuredangle C \equiv \measuredangle F \) (unghiuri ascuțite congruente)
Conform criteriului IU (ipotenuză-unghi) specific triunghiurilor dreptunghice, rezultă că \( \triangle ABC \equiv \triangle DEF \).
Din congruența triunghiurilor, deducem congruența celorlalte catete omoloage, așadar \( AB \equiv DE \).
1. \( BC \equiv EF \) (ipotenuze congruente)
2. \( \measuredangle C \equiv \measuredangle F \) (unghiuri ascuțite congruente)
Conform criteriului IU (ipotenuză-unghi) specific triunghiurilor dreptunghice, rezultă că \( \triangle ABC \equiv \triangle DEF \).
Din congruența triunghiurilor, deducem congruența celorlalte catete omoloage, așadar \( AB \equiv DE \).
