Cele mai importante aspecte ale lecției
Numere raționale (\( \mathbb{Q} \)): Includ fracțiile pozitive (\( \mathbb{Q}_+ \)), negative (\( \mathbb{Q}_- \)) și zero.
Axa numerelor: Negativele sunt la stânga lui 0, pozitivele la dreapta.
Opusul (\( -x \)): Același număr cu semn schimbat. (ex. opusul lui 4 este -4).
Modulul (\( |x| \)): Distanța până la zero; rezultatul este mereu \( \geq 0 \). (ex. \( |-3| = 3 \)).
Comparație numere negative: La numere cu minus, cel care pare mai "mare" (fără semn) este de fapt mai mic. (ex. \( -7 < -2 \)).
Axa numerelor: Negativele sunt la stânga lui 0, pozitivele la dreapta.
Opusul (\( -x \)): Același număr cu semn schimbat. (ex. opusul lui 4 este -4).
Modulul (\( |x| \)): Distanța până la zero; rezultatul este mereu \( \geq 0 \). (ex. \( |-3| = 3 \)).
Comparație numere negative: La numere cu minus, cel care pare mai "mare" (fără semn) este de fapt mai mic. (ex. \( -7 < -2 \)).
Orice număr care se poate scrie sub forma \( \frac{m}{n} \) sau \( -\frac{m}{n} \), unde \( m \) și \( n \) sunt numere naturale, iar \( n \neq 0 \), se numește număr rațional.
Mulțimea numerelor raționale se notează cu \( \mathbb{Q} \).
• \( \mathbb{Q}_+ \): mulțimea numerelor raționale pozitive (de forma \( \frac{m}{n} \)).
• \( \mathbb{Q}_- \): mulțimea numerelor raționale negative (de forma \( -\frac{m}{n} \)).
• \( \mathbb{Q}_+ \): mulțimea numerelor raționale pozitive (de forma \( \frac{m}{n} \)).
• \( \mathbb{Q}_- \): mulțimea numerelor raționale negative (de forma \( -\frac{m}{n} \)).
\[ \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_- \cup \{0\} \cup \mathbb{Q}_+ \]
Pentru a reprezenta numerele raționale pe axă, se alege un punct numit origine (notat cu \( O \)), căruia îi corespunde numărul 0, un sens pozitiv (de obicei spre dreapta) și o unitate de măsură.
• Numerele raționale pozitive se reprezintă la dreapta originii.
• Numerele raționale negative se reprezintă la stânga originii.
• Numerele raționale negative se reprezintă la stânga originii.
Dacă unui punct \( A \) de pe axă îi corespunde numărul rațional \( x \), spunem că \( x \) este coordonata punctului \( A \) și scriem \( A(x) \).
Două numere raționale care se află pe axa numerelor la aceeași distanță față de origine, dar în direcții opuse, se numesc numere raționale opuse.
• Opusul numărului rațional \( x \) este \( -x \).
• Opusul numărului rațional \( -x \) este \( x \).
Scriem: \( -(-x) = x \).
• Opusul numărului rațional \( -x \) este \( x \).
Scriem: \( -(-x) = x \).
Opusul numărului \( \frac{5}{3} \) este \( -\frac{5}{3} \).
Opusul numărului \( -4,2 \) este \( 4,2 \).
Opusul numărului \( -4,2 \) este \( 4,2 \).
Modulul unui număr rațional \( x \) reprezintă distanța de la originea axei (punctul \( O \)) până la punctul corespunzător numărului \( x \) pe axă. Se notează cu \( |x| \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \text{ este pozitiv} \\ -x, & \text{dacă } x \text{ este negativ} \end{cases} \]
\[ |0| = 0 \]
Două numere raționale opuse au același modul: \( |x| = |-x| \). Modulul oricărui număr rațional este întotdeauna pozitiv sau zero.
Calculați: a) \( \left| \frac{3}{7} \right| \) ; b) \( \left| -\frac{25}{8} \right| \).
a) Deoarece \( \frac{3}{7} \) este pozitiv, \( \left| \frac{3}{7} \right| = \frac{3}{7} \).
b) Deoarece \( -\frac{25}{8} \) este negativ, modulul său este opusul său, deci \( \left| -\frac{25}{8} \right| = \frac{25}{8} \).
b) Deoarece \( -\frac{25}{8} \) este negativ, modulul său este opusul său, deci \( \left| -\frac{25}{8} \right| = \frac{25}{8} \).
Reguli de comparare pe axă: Dintre două numere raționale, cel mai mic este întotdeauna reprezentat pe axa numerelor în stânga celuilalt.
Reguli algebrice:
1. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv (și mai mic decât zero).
2. Dintre două numere raționale negative, este mai mic acela care are modulul mai mare.
1. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv (și mai mic decât zero).
2. Dintre două numere raționale negative, este mai mic acela care are modulul mai mare.
Relația de inegalitate „\( \leq \)” (mai mic sau egal) are proprietățile:
• Reflexivă: \( x \leq x \)
• Tranzitivă: Dacă \( x \leq y \) și \( y \leq z \), atunci \( x \leq z \)
• Antisimetrică: Dacă \( x \leq y \) și \( y \leq x \), atunci \( x = y \)
• Reflexivă: \( x \leq x \)
• Tranzitivă: Dacă \( x \leq y \) și \( y \leq z \), atunci \( x \leq z \)
• Antisimetrică: Dacă \( x \leq y \) și \( y \leq x \), atunci \( x = y \)
Comparați numerele \( -\frac{11}{6} \) și \( -\frac{9}{5} \).
Ambele numere sunt negative. Le comparăm modulele:
\( \left| -\frac{11}{6} \right| = \frac{11}{6} \) și \( \left| -\frac{9}{5} \right| = \frac{9}{5} \).
Aducem la același numitor (30):
\( \frac{11}{6} = \frac{55}{30} \) și \( \frac{9}{5} = \frac{54}{30} \).
Deoarece \( \frac{55}{30} > \frac{54}{30} \), rezultă că modulul primului număr este mai mare (\( \frac{11}{6} > \frac{9}{5} \)).
Fiind numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic. Prin urmare: \( -\frac{11}{6} < -\frac{9}{5} \).
\( \left| -\frac{11}{6} \right| = \frac{11}{6} \) și \( \left| -\frac{9}{5} \right| = \frac{9}{5} \).
Aducem la același numitor (30):
\( \frac{11}{6} = \frac{55}{30} \) și \( \frac{9}{5} = \frac{54}{30} \).
Deoarece \( \frac{55}{30} > \frac{54}{30} \), rezultă că modulul primului număr este mai mare (\( \frac{11}{6} > \frac{9}{5} \)).
Fiind numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic. Prin urmare: \( -\frac{11}{6} < -\frac{9}{5} \).
Exerciții
Ușoară: Scrieți opusul și apoi modulul pentru numărul rațional \( -2,5 \).
Opusul numărului \( -2,5 \) se obține schimbându-i semnul, deci este \( 2,5 \).
Modulul reprezintă distanța față de zero (care este mereu pozitivă): \( |-2,5| = 2,5 \).
Modulul reprezintă distanța față de zero (care este mereu pozitivă): \( |-2,5| = 2,5 \).
Medie: Completați spațiul cu unul dintre simbolurile \( < \), \( > \) sau \( = \) pentru a obține o propoziție adevărată: \( -19,6 \ \dots \ -19,8 \).
Ambele numere sunt negative. Calculăm modulele: \( |-19,6| = 19,6 \) și \( |-19,8| = 19,8 \).
Deoarece \( 19,6 < 19,8 \), numărul care are modulul mai mic este de fapt numărul mai mare (este situat mai la dreapta pe axă).
Răspuns: \( -19,6 > -19,8 \).
Deoarece \( 19,6 < 19,8 \), numărul care are modulul mai mic este de fapt numărul mai mare (este situat mai la dreapta pe axă).
Răspuns: \( -19,6 > -19,8 \).
Dificilă: Ordonați crescător următoarele numere raționale: \( -0,5 \) ; \( \frac{1}{3} \) ; \( -0,(6) \) ; \( 1 \) ; \( \frac{1}{2} \).
Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:
\( -0,5 = -\frac{1}{2} \)
\( -0,(6) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \)
Avem numerele negative: \( -\frac{1}{2} \) și \( -\frac{2}{3} \).
Avem numerele pozitive: \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{2} \), \( 1 \).
Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.
Comparăm negativele: aducem la numitor comun (6) \(\rightarrow -\frac{3}{6}\) și \(-\frac{4}{6}\). Deoarece \( \left|-\frac{4}{6}\right| > \left|-\frac{3}{6}\right| \), rezultă \( -\frac{2}{3} < -\frac{1}{2} \).
Comparăm pozitivele: aducem la numitor comun (6) \(\rightarrow \frac{2}{6}\), \(\frac{3}{6}\), \(\frac{6}{6}\). Evident \( \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 \).
Răspuns (ordine crescătoare): \( -0,(6) < -0,5 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 \).
\( -0,5 = -\frac{1}{2} \)
\( -0,(6) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \)
Avem numerele negative: \( -\frac{1}{2} \) și \( -\frac{2}{3} \).
Avem numerele pozitive: \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{2} \), \( 1 \).
Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.
Comparăm negativele: aducem la numitor comun (6) \(\rightarrow -\frac{3}{6}\) și \(-\frac{4}{6}\). Deoarece \( \left|-\frac{4}{6}\right| > \left|-\frac{3}{6}\right| \), rezultă \( -\frac{2}{3} < -\frac{1}{2} \).
Comparăm pozitivele: aducem la numitor comun (6) \(\rightarrow \frac{2}{6}\), \(\frac{3}{6}\), \(\frac{6}{6}\). Evident \( \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 \).
Răspuns (ordine crescătoare): \( -0,(6) < -0,5 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 \).
