VI.6. Exersăm, Ne Antrenăm, Ne Dezvoltăm

Definiția înălțimii

În orice triunghi, înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă (sau pe prelungirea acesteia). Punctul în care înălțimea intersectează latura se numește piciorul înălțimii. Cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente într-un punct numit ortocentru, notat de obicei cu \( H \).

a) Triunghiul este ascuțitunghic

Construcția pentru triunghiul ascuțitunghic

Desenează un triunghi ABC cu toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Folosind echerul, trasează perpendiculara din A pe BC și notează piciorul cu A_1. Repetă procesul din B pe AC (punctul B_1) și din C pe AB (punctul C_1). Toate cele trei înălțimi se vor intersecta în interiorul triunghiului în punctul H. În cazul triunghiului ascuțitunghic, toate înălțimile se află în interiorul triunghiului. \[ AA_1 \perp BC, A_1 \in BC \] \[ BB_1 \perp AC, B_1 \in AC \] \[ CC_1 \perp AB, C_1 \in AB \] Ortocentrul \( H \) se află în interiorul \( \triangle ABC \).

b) Triunghiul este dreptunghic

Construcția pentru triunghiul dreptunghic

Desenează un triunghi DEF cu unghiul D de 90 de grade (folosește echerul pentru a forma unghiul drept). Observă că laturile ED și FD sunt deja perpendiculare una pe cealaltă. Trasează a treia înălțime din vârful D pe ipotenuza EF și notează piciorul cu D_1. Într-un triunghi dreptunghic, două dintre înălțimi sunt chiar catetele triunghiului. Dacă \( m(\angle D) = 90^\circ \), atunci: 1. Înălțimea din \( E \) este segmentul \( ED \) (deoarece \( ED \perp DF \)). 2. Înălțimea din \( F \) este segmentul \( FD \) (deoarece \( FD \perp DE \)). 3. Înălțimea din \( D \) este \( DD_1 \perp EF \). Ortocentrul \( H \) coincide cu vârful unghiului drept, adică \( H = D \).

c) Triunghiul este obtuzunghic

Construcția pentru triunghiul obtuzunghic

Desenează un triunghi MNP cu unghiul M mai mare de 90 de grade. Prelungește laturile NM și PM cu linii punctate în exteriorul triunghiului. Folosind echerul, trasează perpendiculara din N pe prelungirea laturii PM (punctul N_1) și din P pe prelungirea laturii NM (punctul P_1). Trasează înălțimea din M pe latura NP (punctul M_1). Prelungește aceste trei drepte până când se întâlnesc în punctul H, în afara triunghiului. În cazul triunghiului obtuzunghic, două înălțimi cad pe prelungirile laturilor în exterior. Dacă \( m(\angle M) > 90^\circ \): 1. Înălțimea din \( N \) este \( NN_1 \perp PM \), unde \( N_1 \) se află pe prelungirea lui \( PM \). 2. Înălțimea din \( P \) este \( PP_1 \perp NM \), unde \( P_1 \) se află pe prelungirea lui \( NM \). 3. Înălțimea din \( M \) este \( MM_1 \perp NP \). Ortocentrul \( H \) se află în exteriorul triunghiului.

a) \( \triangle ABC \) ascuțitunghic: \( AA_1 \perp BC, BB_1 \perp AC, CC_1 \perp AB \). \( H \in \text{Int}(\triangle ABC) \). b) \( \triangle DEF \) dreptunghic (\( \hat{D}=90^\circ \)): înălțimi \( ED, FD, DD_1 \perp EF \). \( H = D \). c) \( \triangle MNP \) obtuzunghic (\( \hat{M}>90^\circ \)): \( NN_1 \perp PM, PP_1 \perp NM, MM_1 \perp NP \). \( H \in \text{Ext}(\triangle MNP) \).